Seja um tanque cilíndrico vertical com um orifício em sua base. Pode-se mostrar, adotando algumas simplificações, que a taxa pela qual o nível y(t) do líquido abaixa neste tanque é dada por:
\frac{d y}{d t}=-k \sqrt{y}
onde k é uma constante que depende do tipo do orifício existente na base, do tipo do líquido e da área da seção transversal do tanque. O nível do líquido é medido em metros e o tempo em minutos.
Para um problema onde k=0.06 e sabendo que o nível do líquido está inicialmente a 3 metros, isto é, y(0)=3.0, calcule o calcule o seu nível no primeiro minuto (isto é , o nível após 1 minuto do início, y(t=1.0) ), usando o método de Runge Kutta de 2^{a} ordem, com m=2.
Observe que, para este problema:
(i) a variável independente é a variável t (que corresponde ao x nas expressões dos métodos já exibidos).
(ii) a derivada conhecida, a y^{\prime}=f(t, y), é a expressão, f(t, y)=-0.06 \sqrt{y} e que, neste caso, a variável t não aparece explicitamente na função f

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dt} = f(t,y) = -0.06\sqrt{y},
com condição inicial y(0)=3{,}0. Queremos y(1) usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem com m=2 passos no intervalo [0,1].
Como m=2, o passo é
h = \frac{1-0}{2}=0{,}5.
Vamos usar a variante “método do ponto médio” (RK2):
k_1 = f(t_n,y_n),\quad k_2 = f\bigl(t_n + \tfrac h2,\;y_n + \tfrac h2\,k_1\bigr),\quad y_{n+1} = y_n + h\,k_2.

Passo 2

Primeiro passo de t_0=0 a t_1=0{,}5, com y_0=3{,}0.
Calcule
k_1 = -0.06\sqrt{3{,}0}\approx -0.06\cdot1{,}73205\approx -0.10392,
y_{\text{meio}} = y_0 + \frac{h}{2}\,k_1 = 3{,}0 + 0{,}25\cdot(-0.10392)\approx 2{,}97402,
k_2 = -0.06\sqrt{2{,}97402}\approx -0.06\cdot1{,}72466\approx -0.10348,
y_1 = y_0 + h\,k_2 = 3{,}0 + 0{,}5\cdot(-0.10348)\approx 2{,}94826.

Passo 3

Segundo passo de t_1=0{,}5 a t_2=1{,}0, com y_1\approx2{,}94826.
Calcule
k_1 = -0.06\sqrt{2{,}94826}\approx -0.06\cdot1{,}71649\approx -0.10299,
y_{\text{meio}} = y_1 + \frac{h}{2}\,k_1 = 2{,}94826 + 0{,}25\cdot(-0.10299)\approx 2{,}92251,
k_2 = -0.06\sqrt{2{,}92251}\approx -0.06\cdot1{,}70900\approx -0.10254,
y_2 = y_1 + h\,k_2 = 2{,}94826 + 0{,}5\cdot(-0.10254)\approx 2{,}89699.

Resposta

O nível do líquido após 1 minuto é aproximadamente
y(1)\approx2{,}897\text{ metros.}

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