Usando seus conhecimentos sobre séries, expresse cada número abaixo como uma razão de inteiros.
4,157015701570 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número
x = 4,157015701570\ldots
como uma razão de inteiros. Trata-se de um decimal periódico puro, cujo período é “1570” (4 dígitos). Para converter decimais periódicos em frações, usamos a técnica de multiplicar por potências de 10 de modo a alinhar as repetições e depois subtrair.

Passo 2

Separemos a parte inteira da decimal e, para a parte decimal, definamos
y = x - 4 = 0,157015701570\ldots
Como o período tem 4 dígitos, multiplicamos y por 10^4:
10000\,y = 1570,157015701570\ldots

Passo 3

Subtraindo a expressão original de y da expressão de 10000\,y, temos
10000\,y - y = 1570,1570\ldots - 0,1570\ldots = 1570
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9999\,y = 1570 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1570}{9999}.

Passo 4

Agora voltamos a x:
x = 4 + y = 4 + \frac{1570}{9999} = \frac{4\cdot 9999 + 1570}{9999} = \frac{39996 + 1570}{9999} = \frac{41566}{9999}.

Resposta

\frac{41566}{9999}

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