Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+n^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \r
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+n^2} \r
usando testes de comparação. Como todos os termos são positivos, vamos comparar com uma p-série conhecida.

Passo 2

Para n\ge1 temos \r
n^3 + n^2 \;\ge\; n^2, \r
logo \r
\frac{1}{n^3 + n^2} \;\le\; \frac{1}{n^2}.

Passo 3

Sabemos que a p-série \r
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \r
converge, pois p=2>1. Pelo teste de comparação direta, a série \r
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 + n^2} \r
também converge.

Resposta

A série converge.

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