1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
    i) mathscrL2 x^3-x e^x+e^4 x cos x

Passo 1

Vamos resolver a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar as propriedades das transformadas de Laplace aplicadas a polinômios, funções exponenciais e funções trigonométricas. Precisaremos conhecer as fórmulas básicas da transformada de Laplace para cada tipo de função presente na expressão.

Passo 2

Primeiro, calculamos a transformada de mathscrLx^n = n!s^n+1 . Sabemos que a transformada de mathscrL2x^3 = 2 cdot 3!s^4 = 2 cdot 6s^4 = 12s^4 é dada por:
Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de mathscrLx e^a x = 1(s - a)^2 . A transformada de mathscrL-x e^x = -1(s - 1)^2 é:
Aqui, , então:

Passo 4

Por último, calculamos a transformada de mathscrLe^a x cos(b x) = s - a(s - a)^2 + b^2 . A transformada de mathscrLe^4x cos x = s - 4(s - 4)^2 + 1 é:
Aqui, e , então:

Resposta

A transformada de Laplace da função mathscrL2x^3 - x e^x + e^4x cos x = 12s^4 - 1(s - 1)^2 + s - 4(s - 4)^2 + 1 é:

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