Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
usando convolução. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente da técnica de convolução para encontrar a transformada inversa. Para resolver, vamos precisar decompor a função original em duas partes mais simples cujas transformadas inversas sabemos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar duas funções no domínio de
que, quando multiplicadas, dão
. Podemos escolher
e
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
separadamente.
Para
, sabemos que:
Para
, a transformada inversa é:
Passo 4
Agora que temos as transformadas inversas de
e
, podemos usar a propriedade de convolução. A transformada inversa da multiplicação de duas funções no domínio de
é a convolução das transformadas inversas no domínio do tempo. Ou seja:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Para resolver
, usamos integração por partes:
- Seja
então - Seja
então
Aplicando:
Avaliado de
a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Resposta
A transformada inversa de
é: