Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
d) mathscrL^-1[1s^2(s-5)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de 1s^2(s-5) usando convolução. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente da técnica de convolução para encontrar a transformada inversa. Para resolver, vamos precisar decompor a função original em duas partes mais simples cujas transformadas inversas sabemos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar duas funções no domínio de s que, quando multiplicadas, dão 1s^2(s-5). Podemos escolher F(s) = 1s^2 e G(s) = 1s-5. Assim, temos:
F(s) cdot G(s) = 1s^2 cdot 1s-5 = 1s^2(s-5)

Passo 3

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de F(s) e G(s) separadamente.
Para F(s) = 1s^2, sabemos que:
mathscrL^-11s^2 = t
Para G(s) = 1s-5, a transformada inversa é:
mathscrL^-11s-5 = e^5t

Passo 4

Agora que temos as transformadas inversas de F(s) e G(s), podemos usar a propriedade de convolução. A transformada inversa da multiplicação de duas funções no domínio de s é a convolução das transformadas inversas no domínio do tempo. Ou seja:
mathscrL^-1F(s) cdot G(s) = (f * g)(t) = integral0^t f(tau) cdot g(t - tau) , dtau
Substituindo f(tau) = tau e g(t - tau) = e^5(t - tau), temos:
(f * g)(t) = integral0^t tau cdot e^5(t - tau) , dtau

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^t tau cdot e^5(t - tau) , dtau = e^5t integral0^t tau cdot e^-5tau , dtau
Para resolver integral tau e^-5tau , dtau, usamos integração por partes:
  • Seja u = tau então du = dtau
  • Seja dv = e^-5tau dtau então v = -15 e^-5tau
Aplicando:
integral tau e^-5tau , dtau = -tau5 e^-5tau + 15 integral e^-5tau , dtau = -tau5 e^-5tau - 125 e^-5tau + C
Avaliado de 0 a t:
[-t5 e^-5t - 125 e^-5t] - [0 - 125] = -t5 e^-5t - 125 e^-5t + 125

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
(f * g)(t) = e^5t (-t5 e^-5t - 125 e^-5t + 125) = -t5 - 125 + 125 e^5t
Simplificando:
(f * g)(t) = -t5 - 125 + 125 e^5t

Resposta

A transformada inversa de 1s^2(s-5) é:
mathscrL^-1[1s^2(s-5)] = -t5 - 125 + 125 e^5t

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