Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
g) cly^prime prime+y & =x^2+1 y(0)=pi^2, & y^prime(0)=2 pi

Passo 1

Temos a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = x^2 + 1,
com condições iniciais y(0)=pi^2 e y'(0)=2pi. O conteúdo aqui é usar transformada de Laplace para resolver EDO com condições iniciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly = Y(s),
e que
Lx^2 = 2s^3, L1 = 1s
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s^2Y(s) - spi^2 - 2pi + Y(s) = 2s^3 + 1s

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)(s^2 + 1) = spi^2 + 2pi + 2s^3 + 1s,
portanto
Y(s) = spi^2 + 2pis^2 + 1 + 2s^3 + 1ss^2 + 1

Passo 4

Agora fazemos frações parciais em
2/s^3 + 1/ss^2 + 1 = -1s + 2s^3 + ss^2 + 1
. Separando em

e achamos

Passo 5

Reescrevendo Y(s) e aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
L^-1s/(s^2+1)=cos x,
L^-11/(s^2+1)=sin x,
L^-11/s=1 e
L^-11/s^3=x^2/2, obtemos
y(x) = pi^2cos x + 2pisin x - 1 + x^2 + cos x

Resposta

(\pi^2 + 1)\cos x + 2\pi\sin x + x^2 - 1

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