Calcule \iint_{D} \int z d V, onde D é o tetraedro de vértices (0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,0,1).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral tripla \iint_{D}\!\int z\,dV (ou seja, \displaystyle\iiint_{D} z\,dV) sobre o tetraedro D de vértices (0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,0,1).
Informações dadas:
  • Vértices: A=(0,0,0), B=(1,1,0), C=(1,0,0), D=(1,0,1).
  • O integrando é a função z.
  • Precisamos descrever a região D em coordenadas cartesianas e calcular \displaystyle\iiint_{D} z\,dV.

Passo 2

Entendendo a geometria (como montar os limites de integração) — explicação didática:
  • Três vértices têm x=1 (são B,C,D) e um vértice tem x=0 A). Portanto, o tetraedro é formado por unir o ponto A=(0,0,0) ao triângulo no plano x=1 com vértices (1,1,0),(1,0,0),(1,0,1).
  • Para um x fixo entre 0 e 1, a interseção de D com o plano vertical x= constante é um triângulo obtido por homotetia (escala) do triângulo do plano x=1, porque as coordenadas y,z variam linearmente entre A e os pontos do triângulo em x=1.
  • Especificamente, quando x=1 o triângulo em y,z tem vértices (y,z)=(1,0),(0,0),(0,1). Ao escalar por fator x (porque a coordenada x é o parâmetro de interpolação entre 0 e 1), os vértices do triângulo na seção x são (y,z)=(x,0),(0,0),(0,x).
  • Esse triângulo em y,z é o conjunto \{(y,z)\mid 0\le y\le x,\; 0\le z\le x-y\}.
  • Logo, uma descrição prática da região D em coordenadas é 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le x,\quad 0\le z\le x-y.
(Expliquei passo a passo porque em prova você precisa justificar os limites: vendo as seções transversais e a homotetia entre a seção em x e o triângulo em x=1.)

Passo 3

Escrevendo a integral tripla com os limites encontrados:
\displaystyle\iiint_{D} z\,dV \;=\; \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{\,x-y} z \,dz\,dy\,dx.
Aqui escolhi a ordem dz\,dy\,dx porque para cada x e y os limites de z são simples (retos).

Passo 4

Calcule a integral interna em z. Fórmula usada: \displaystyle\int z\,dz=\tfrac{1}{2}z^{2}. Então
\int_{z=0}^{\,x-y} z\,dz \;=\; \left.\tfrac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{\,x-y} \;=\; \tfrac{1}{2}(x-y)^{2}.

Passo 5

Agora integramos em y. Temos que calcular
\int_{y=0}^{x} \tfrac{1}{2}(x-y)^{2}\,dy.
Para entender essa integral, faça a substituição (mental) t=x-y. Quando y vai de 0 a x, t vai de x a 0, ou simplesmente reconheça que \displaystyle\int_{0}^{x}(x-y)^{2}dy=\int_{0}^{x}t^{2}dt. Portanto
\int_{y=0}^{x} \tfrac{1}{2}(x-y)^{2}\,dy \;=\; \tfrac{1}{2}\int_{0}^{x} t^{2}\,dt \;=\; \tfrac{1}{2}\cdot\left.\tfrac{t^{3}}{3}\right|_{0}^{x} \;=\; \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{x^{3}}{3} \;=\; \tfrac{x^{3}}{6}.

Passo 6

Por fim integramos em x:
\int_{x=0}^{1} \tfrac{x^{3}}{6}\,dx \;=\; \tfrac{1}{6}\int_{0}^{1} x^{3}\,dx \;=\; \tfrac{1}{6}\cdot\left.\tfrac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} \;=\; \tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Verificação alternativa (dica útil para prova): integral de z sobre um sólido é o volume vezes a coordenada z do centróide. Para um tetraedro, o centróide é a média das coordenadas dos vértices; a coordenada z do centróide aqui é \tfrac{0+0+0+1}{4}=\tfrac{1}{4}. O volume do tetraedro pode ser calculado tomando como base o triângulo em x=1 (área A=\tfrac{1\cdot1}{2}=\tfrac{1}{2}) e altura h=1 (distância até x=0), então V=\tfrac{1}{3}Ah=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{6}. Assim a integral é V\cdot (\text{coordenada }z\text{ do centróide})=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{4}ó, que coincide com o que obtivemos acima.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{24}

Exercícios relacionados