Classifique as equações diferenciais a seguir e dê as soluções gerais:
y^{\prime}=2 y-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 2y - 3
É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea com coeficiente constante. Para resolver, vamos usar o método de soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão de equação linear de 1ª ordem:
y' - 2y = -3.
A parte homogênea associada é
y' - 2y = 0.

Passo 3

Resolvendo a homogênea, separamos variáveis ou reconhecemos que a solução é exponencial:
\frac{dy}{dx} = 2y \quad\Longrightarrow\quad y_h(x) = C e^{2x},
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 4

Para achar uma solução particular y_p, assumimos y_p constante (pois o termo não homogêneo é constante). Então y_p'=0 e da equação
0 - 2y_p = -3
vem
2y_p = 3 \quad\Longrightarrow\quad y_p = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p = C e^{2x} + \tfrac{3}{2}.

Resposta

y(x) = C e^{2x} + \tfrac{3}{2},
com C constante arbitrária.

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