Usando coordenadas esféricas calcule o volume do sólido limitado pela esfera de raiu 3, centrada na origem, x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela esfera de raio 3 centrada na origem usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais triplas e uso do jacobiano esférico para calcular volumes.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, cada ponto $(x,y,z)$ é dado por $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$. O elemento de volume é $,dV=\rho^{2}\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta$.

Passo 3

A região é a esfera $x{2}+y{2}+z^{2}=9$, que em esféricas vira $0\le\rho\le3$. Como não há restrição em ângulos, temos $0\le\phi\le\pi$ e $0\le\theta\le2\pi$.

Passo 4

Montamos a integral de volume como
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^3 rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Para calcular, separamos:
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^pisinphi,dphi=2,
integral0^3rho^2,drho=[tfracrho^33]0^3=9
Multiplicando os resultados, obtemos .

Resposta

36\pi

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