Usando coordenadas esféricas calcule o volume do sólido limitado pela esfera de raiu 3, centrada na origem,
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Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela esfera de raio 3 centrada na origem usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais triplas e uso do jacobiano esférico para calcular volumes.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, cada ponto $(x,y,z)$ é dado por $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$. O elemento de volume é $,dV=\rho^{2}\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta$.
Passo 3
A região é a esfera $x{2}+y{2}+z^{2}=9$, que em esféricas vira $0\le\rho\le3$. Como não há restrição em ângulos, temos $0\le\phi\le\pi$ e $0\le\theta\le2\pi$.
Passo 4
Montamos a integral de volume como
Passo 5
Para calcular, separamos:
Multiplicando os resultados, obtemos
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Resposta
36\pi