Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 1 cos (x^2+x-22 x^4-x^3+x-2)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1cos!gl(x^2 + x - 22x^4 - x^3 + x - 2gr)
Aqui vamos usar limite de quociente com forma indeterminada tfrac00 e depois a continuidade da função cos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2),
pois 1^2 + 1 - 2 = 0.

Passo 3

Agora, fatoramos o denominador. Dividindo 2x^4 - x^3 + x - 2 por x-1 (síntese de Ruffini) obtemos
2x^4 - x^3 + x - 2 = (x - 1)l(2x^3 + x^2 + x + 2r)

Passo 4

No quociente, cancelam-se os fatores x-1, ficando
x^2 + x - 22x^4 - x^3 + x - 2 = (x-1)(x+2)(x-1)(2x^3 + x^2 + x + 2) = x+22x^3 + x^2 + x + 2
Ao fazer xto1, isso dá
limxto1x+22x^3 + x^2 + x + 2 = 1+22cdot1^3 + 1^2 + 1 + 2 = 36 = tfrac12

Passo 5

Como cos é contínua, podemos tirar o limite para dentro:
limxto1cos!l(ldotsr) = cos!l(limxto1(ldots)r) = cos!l(tfrac12r)

Resposta

cos!l(tfrac12r)

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