Usando coordenadas polares calcule as integrais abaizo.
(a) integral1^3 integral0^y 1raizx^2+y^2 d x d y
(b) integral0^1 integralx^2^raiz2-x^2 raizx^2+y^2 d y d x
© integral0^1 integral1-raiz1-y^2^1+raiz1-y^2 x y d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou três integrais que estão em coordenadas cartesianas e pediu para resolver usando coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve mudança de coordenadas de cartesianas para polares e o cálculo de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como converter x e y para r e theta e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a):
integral1^3 integral0^y 1raizx^2+y^2 , dx , dy
Primeiro, identificamos que a expressão raizx^2 + y^2 sugere coordenadas polares, onde r = raizx^2 + y^2. Então, vamos mudar para coordenadas polares.

Passo 3

Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
O diferencial de área, dx,dy, se transforma em r,dr,dtheta.

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração. A integral original vai de y = 1 a y = 3 e, para cada y, x vai de 0 a y. Em polares, isso corresponde a theta indo de 0 a pi4 (porque x = y implica theta = pi4) e r indo de $ \frac{1}{\sin\theta} $ a $ \frac{3}{\sin\theta} $.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi4 integral1sintheta^3sintheta 1r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral1sintheta^3sintheta 1 , dr , dtheta
Simplificando, a integral interna em r fica fácil de resolver.

Passo 6

Integrando em relação a r:
integral1sintheta^3sintheta 1 , dr = [ r ]1sintheta^3sintheta = 3sintheta - 1sintheta = 2sintheta

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^pi4 2sintheta , dtheta = 2 integral0^pi4 csctheta , dtheta
A integral de csctheta é -ln|csctheta + cottheta|.

Passo 8

Calculando a integral:
2 [ -ln|csctheta + cottheta| ]0^pi4 = -2 ( ln(cscpi4 + cotpi4) - limtheta to 0^+ ln(csctheta + cottheta) )
Sabemos que cscpi4 = raiz2 e cotpi4 = 1, então:
-2 (ln(raiz2 + 1) - limtheta to 0^+ ln(csctheta + cottheta))
Quando theta se aproxima de 0, csctheta e cottheta tendem ao infinito, então o segundo termo vai a infinito.

Passo 9

Entretanto, isso indica que a integral diverge para infinito. Portanto, a parte (a) não converge.

Resposta

A integral da parte (a) diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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