Usando coordenadas polares calcule as integrais abaizo.
(a)
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou três integrais que estão em coordenadas cartesianas e pediu para resolver usando coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve mudança de coordenadas de cartesianas para polares e o cálculo de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como converter
e
para
e
e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a):
Primeiro, identificamos que a expressão
sugere coordenadas polares, onde
. Então, vamos mudar para coordenadas polares.
Passo 3
Em coordenadas polares, temos:
O diferencial de área,
, se transforma em
.
Passo 4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. A integral original vai de
a
e, para cada
,
vai de
a
. Em polares, isso corresponde a
indo de
a
(porque
implica
) e
indo de $ \frac{1}{\sin\theta} $ a $ \frac{3}{\sin\theta} $.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando, a integral interna em
fica fácil de resolver.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
A integral de
é
.
Passo 8
Calculando a integral:
Sabemos que
e
, então:
Quando
se aproxima de
,
e
tendem ao infinito, então o segundo termo vai a infinito.
Passo 9
Entretanto, isso indica que a integral diverge para infinito. Portanto, a parte (a) não converge.
Resposta
A integral da parte (a) diverge, ou seja, não possui um valor finito.