Aplicando o Método Iterativo de Gauss-Jacobi para resolver o sistema linear
1 x_{1}-5 x_{2}=-4
7 x_{1}-1 x_{2}=6
podemos afirmar que a solução na quarta iteração, com aproximação inicial (0,0), é dada por:
Dica: efetue seus cálculos considerando 4 dígitos (Quatro casas decimais).
Escolha uma opção:
○ (1,0000; 1,0000)
○ ( 0, 9910 ; 0,8884 )
○ ( 0, 8571 ; 0,9714 )
○ O método de Gauss-Jacobi não apresenta convergência na solução do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Método Iterativo de Gauss–Jacobi ao sistema linear
\begin{cases} 1\,x_{1}-5\,x_{2}=-4,\\[4pt] 7\,x_{1}-1\,x_{2}=6, \end{cases}
usando aproximação inicial (0,0) e realizando os cálculos com quatro casas decimais. A pergunta é: qual é a solução obtida na quarta iteração (ou seja, x^{(4)})? As opções dadas são:
\text{(a) }(1{,}0000;1{,}0000),\quad \text{(b) }(0{,}9910;0{,}8884),\quad \text{\text{(c)} }(0{,}8571;0{,}9714),\quad \text{(d) O método de Gauss–Jacobi não apresenta convergência.}éãê
Informações relevantes fornecidas: sistema linear, método Gauss–Jacobi, aproximação inicial (0,0), arredondamento para 4 casas decimais.]

Passo 2

Vou explicar rapidamente o que é o método de Gauss–Jacobi e como obter as fórmulas iterativas para este sistema (passo a passo, como você pediu). O método de Gauss–Jacobi isola cada incógnita usando a diagonal da matriz dos coeficientes e, na iteração k+1\), usa os valores da iteração \(k\) para todas as outras incógnitas. Para o sistema dado: \[\begin{cases} x_{1}-5x_{2}=-4,\\[4pt] 7x_{1}-x_{2}=6, \end{cases}
isolo x_{1}\] e \(x_{2}:
x_{1}=-4+5x_{2},
x_{2}=7x_{1}-6.
Portanto o esquema iterativo de Gauss–Jacobi é, para k=0,1,2,\dots,
x_{1}^{(k+1)} = -4 + 5\,x_{2}^{(k)},
x_{2}^{(k+1)} = 7\,x_{1}^{(k)} - 6.
Explicando as variáveis: x_{i}^{(k)} é a aproximação da incógnita x_{i} na iteração k. Começamos com x^{(0)}=(0,0).]

Passo 3

Antes de calcular iterações, é importante verificar se o método tende a convergir. Uma condição prática suficiente para convergência do método de Jacobi é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante (em cada linha o valor absoluto do elemento diagonal maior que a soma dos absolutos dos outros elementos da linha). A matriz dos coeficientes aqui é
A=\begin{pmatrix}1 & -5\\[4pt]7 & -1\end{pmatrix}.
Verifico as linhas:
linha 1: |1| = 1 e soma dos outros absolutos é |-5|=5, como 1<5 não é dominante;
linha 2: |-1| = 1 e soma dos outros absolutos é |7|=7, como 1<7 não é dominante.
Logo, a matriz não é diagonalmente dominante; isso já indica que a condição suficiente não vale, e o método pode não convergir.
Uma análise mais precisa usa a matriz de iteração de Jacobi B. Para Jacobi vale
x^{(k+1)} = D^{-1}b - D^{-1}(L+U)x^{(k)},
onde D é a diagonal de A e L+U são os termos fora da diagonal. A matriz de iteração é
B = -D^{-1}(L+U).
Para o nosso sistema temos
D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},\qquad L+U=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt]7 & 0\end{pmatrix}.
Então
D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt]-7 & 0\end{pmatrix},
e portanto
B = -D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix}0 & 5\\[4pt]7 & 0\end{pmatrix}.
A convergência do método de Jacobi acontece se e somente se o raio espectral de B for menor que 1; o raio espectral é o maior valor absoluto dos autovalores de B. Os autovalores de B satisfazem
\det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 5\\[4pt]7 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^{2}-35=0,
portanto
\lambda=\pm\sqrt{35}\approx\pm 5{,}9161.
O raio espectral é \rho(B)=\sqrt{35}\approx 5{,}9161>1. Conclusão: o método de Jacobi diverge para este sistema (não converge).]

Passo 4

Mesmo já sabendo que diverge, vou executar as iterações a partir de x^{(0)}=(0,0) até a quarta iteração para deixar claro numericamente como explode. Vou arredondar cada componente a quatro casas decimais conforme a dica.
Iteração 0:
x^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})=(0{,}0000,\;0{,}0000).
Iteração 1 (usar as fórmulas e x^{(0)}):
x_{1}^{(1)}=-4+5\cdot x_{2}^{(0)}=-4+5\cdot 0=-4{,}0000,
x_{2}^{(1)}=7\cdot x_{1}^{(0)}-6=7\cdot 0-6=-6{,}0000.
Logo x^{(1)}=(-4{,}0000,\,-6{,}0000).
Iteração 2 (usar x^{(1)}):
x_{1}^{(2)}=-4+5\cdot(-6)=-4-30=-34{,}0000,
x_{2}^{(2)}=7\cdot(-4)-6=-28-6=-34{,}0000.
Logo x^{(2)}=(-34{,}0000,\,-34{,}0000).
Iteração 3 (usar x^{(2)}):
x_{1}^{(3)}=-4+5\cdot(-34)=-4-170=-174{,}0000,
x_{2}^{(3)}=7\cdot(-34)-6=-238-6=-244{,}0000.
Logo x^{(3)}=(-174{,}0000,\,-244{,}0000).
Iteração 4 (usar x^{(3)}):
x_{1}^{(4)}=-4+5\cdot(-244)=-4-1220=-1224{,}0000,
x_{2}^{(4)}=7\cdot(-174)-6=-1218-6=-1224{,}0000.
Logo x^{(4)}=(-1224{,}0000,\,-1224{,}0000).
Observação: os valores crescem em magnitude exponencialmente, confirmando a ausência de convergência. Arredondei tudo para quatro casas decimais como solicitado.

Passo 5

Resumo e conclusão didática: a matriz não é diagonalmente dominante e a matriz de iteração B=\begin{pmatrix}0&5\\[4pt]7&0\end{pmatrix} tem autovalores \pm\sqrt{35} com módulo maior que 1, portanto o método de Gauss–Jacobi diverge para este sistema. A iteração numérica até k=4 mostra claramente o crescimento dos valores, confirmando que não há convergência.]

Resposta

O método de Gauss-Jacobi não apresenta convergência na solução do sistema.

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