Aplicando o Método Iterativo de Gauss-Jacobi para resolver o sistema linear
podemos afirmar que a solução na quarta iteração, com aproximação inicial
, é dada por:
Dica: efetue seus cálculos considerando 4 dígitos (Quatro casas decimais).
Escolha uma opção:
○ (1,0000; 1,0000)
○ ( 0,
)
○ ( 0,
)
○ O método de Gauss-Jacobi não apresenta convergência na solução do sistema.
Escolha uma opção:
○ (1,0000; 1,0000)
○ ( 0,
○ ( 0,
○ O método de Gauss-Jacobi não apresenta convergência na solução do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Método Iterativo de Gauss–Jacobi ao sistema linear
usando aproximação inicial
e realizando os cálculos com quatro casas decimais. A pergunta é: qual é a solução obtida na quarta iteração (ou seja,
)? As opções dadas são:
Informações relevantes fornecidas: sistema linear, método Gauss–Jacobi, aproximação inicial
, arredondamento para 4 casas decimais.]
Passo 2
Vou explicar rapidamente o que é o método de Gauss–Jacobi e como obter as fórmulas iterativas para este sistema (passo a passo, como você pediu). O método de Gauss–Jacobi isola cada incógnita usando a diagonal da matriz dos coeficientes e, na iteração
isolo
:
Portanto o esquema iterativo de Gauss–Jacobi é, para
,
Explicando as variáveis:
é a aproximação da incógnita
na iteração
. Começamos com
.]
Passo 3
Antes de calcular iterações, é importante verificar se o método tende a convergir. Uma condição prática suficiente para convergência do método de Jacobi é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante (em cada linha o valor absoluto do elemento diagonal maior que a soma dos absolutos dos outros elementos da linha). A matriz dos coeficientes aqui é
Verifico as linhas:
linha 1: e soma dos outros absolutos é
, como
não é dominante;
linha 2: e soma dos outros absolutos é
, como
não é dominante.
Logo, a matriz não é diagonalmente dominante; isso já indica que a condição suficiente não vale, e o método pode não convergir.
linha 1:
linha 2:
Logo, a matriz não é diagonalmente dominante; isso já indica que a condição suficiente não vale, e o método pode não convergir.
Uma análise mais precisa usa a matriz de iteração de Jacobi
. Para Jacobi vale
onde
é a diagonal de
e
são os termos fora da diagonal. A matriz de iteração é
Para o nosso sistema temos
Então
e portanto
A convergência do método de Jacobi acontece se e somente se o raio espectral de
for menor que
; o raio espectral é o maior valor absoluto dos autovalores de
. Os autovalores de
satisfazem
portanto
O raio espectral é
. Conclusão: o método de Jacobi diverge para este sistema (não converge).]
Passo 4
Mesmo já sabendo que diverge, vou executar as iterações a partir de
até a quarta iteração para deixar claro numericamente como explode. Vou arredondar cada componente a quatro casas decimais conforme a dica.
Iteração
:
Iteração
(usar as fórmulas e
):
Logo
.
Iteração
(usar
):
Logo
.
Iteração
(usar
):
Logo
.
Iteração
(usar
):
Logo
.
Observação: os valores crescem em magnitude exponencialmente, confirmando a ausência de convergência. Arredondei tudo para quatro casas decimais como solicitado.
Passo 5
Resumo e conclusão didática: a matriz não é diagonalmente dominante e a matriz de iteração
tem autovalores
com módulo maior que
, portanto o método de Gauss–Jacobi diverge para este sistema. A iteração numérica até
mostra claramente o crescimento dos valores, confirmando que não há convergência.]
Resposta
O método de Gauss-Jacobi não apresenta convergência na solução do sistema.