Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2+3 x que é paralela à reta y=2 x+3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{2} + 3x $ que seja paralela à reta $ y = 2x + 3 $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de $ f(x) $, igualar à inclinação da reta dada (que é 2) e encontrar o ponto onde isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto de uma função tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Então, para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) = x^{2} + 3x $. A derivada, $ f’(x) $, nos dá a inclinação da função em qualquer ponto $ x $.
f(x) = x^2 + 3x

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente seja paralela à reta $ y = 2x + 3 $. Retas paralelas têm a mesma inclinação, então igualamos a derivada de $ f(x) $ a 2:
y = 2x + 3

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ x $:
x

Passo 6

Encontramos $ x = -\frac{1}{2} $. Agora, vamos achar o valor de $ y $ nesse ponto usando a função original $ f(x) $:
x = -12

Passo 7

Agora temos o ponto de tangência $ \left(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}\right) $ e a inclinação da reta tangente, que é 2. Vamos usar a fórmula da equação da reta:
(-12, -54)
Substituindo os valores:
y - y1 = m(x - x1)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 2x - \frac{1}{4} $.

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