Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A série tem termos positivos para todo
(pois e ). - A incógnita é a convergência da série quando
varia em . - Não há nenhuma restrição adicional sobre
além de .
Passo 2
Escolha do método: para séries com potências em que aparece uma expressão do tipo
é muito conveniente usar o critério da raiz (root test), porque a raiz
-ésima simplifica expoentes e geralmente dá um limite simples. Vou explicar o critério da raiz de forma didática.
Critério da raiz (enunciado e intuição):
- Seja
o -ésimo termo de uma série. Defina - Se
então a série converge absolutamente. - Se
então a série diverge. - Se
o critério é inconclusivo.
Intuição:mede a taxa exponencial de decaimento de . Se essa taxa é menor que , os termos decaem “exponencialmente rápido” e a soma converge.
Um exemplo simples para fixar: a série geométrica
tem
; o critério da raiz diz que converge se
, exatamente o caso conhecido.
Passo 3
Aplicando o critério da raiz ao termo geral
Calculo a raiz
-ésima:
Aqui usei a regra de potências
; para
isso dá
, e para
obtemos
.
Passo 4
Agora tomo o limite (ou
) quando
:
Para qualquer
temos
quando
, logo
. Portanto
Como
, o critério da raiz garante que a série converge absolutamente.
Explicação didática curta: o denominador
cresce muito mais rápido que qualquer
(mesmo para
grande), por isso os termos vão a zero numa taxa exponencial tão forte que a soma converge.
Passo 5
Verificação alternativa (teste da razão) — só para você ficar ainda mais confiante:
Calculo a razão entre termos consecutivos:
Calculo a razão entre termos consecutivos:
Então
Pelo critério da razão, como o limite é
, a série também converge absolutamente. Resultado consistente com o critério da raiz.
Passo 6
Conclusão final e comentário prático: para qualquer
os termos da série decaem extremamente rápido por causa de
no denominador; tanto o critério da raiz quanto o da razão mostram que a série converge absolutamente. Isso significa que, na hora da prova, basta aplicar a raiz
-ésima e observar que
para concluir rapidamente.
Força aí — essa é daquelas séries “assustadoras” no enunciado, mas que caem fácil com o critério certo!
Resposta
A série converge absolutamente para todo
.