Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
\sum \frac{a^{n}}{2^{n^{2}}}, a>0

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{2^{n^{2}}},\qquad a>0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A série tem termos positivos para todo n (pois a>0 e 2^{n^{2}}>0).
  • A incógnita é a convergência da série quando a varia em (0,\infty).
  • Não há nenhuma restrição adicional sobre a além de a>0.

Passo 2

Escolha do método: para séries com potências em que aparece uma expressão do tipo 2^{n^{2}} é muito conveniente usar o critério da raiz (root test), porque a raiz n-ésima simplifica expoentes e geralmente dá um limite simples. Vou explicar o critério da raiz de forma didática.
Critério da raiz (enunciado e intuição):
  • Seja u_n\ge0 o n-ésimo termo de uma série. Defina L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}.
  • Se L<1 então a série \sum u_n converge absolutamente.
  • Se L>1 então a série diverge.
  • Se L=1 o critério é inconclusivo.
    Intuição: \sqrt[n]{u_n} mede a taxa exponencial de decaimento de u_n. Se essa taxa é menor que 1, os termos decaem “exponencialmente rápido” e a soma converge.
Um exemplo simples para fixar: a série geométrica \sum r^n tem \sqrt[n]{r^n}=|r|; o critério da raiz diz que converge se |r|<1, exatamente o caso conhecido.

Passo 3

Aplicando o critério da raiz ao termo geral
u_n=\frac{a^{n}}{2^{n^{2}}}.
Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{u_n}=\sqrt[n]{\frac{a^{n}}{2^{n^{2}}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n}}}{\sqrt[n]{2^{n^{2}}}}=\frac{a}{2^{n}}.
Aqui usei a regra de potências \sqrt[n]{x^{m}}=x^{m/n}; para \sqrt[n]{a^{n}} isso dá a, e para \sqrt[n]{2^{n^{2}}} obtemos 2^{n^{2}/n}=2^{n}.

Passo 4

Agora tomo o limite (ou \limsup) quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{2^{n}}.
Para qualquer a>0 temos 2^{n}\to\infty quando n\to\infty, logo \dfrac{a}{2^{n}}\to 0. Portanto
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=0.
Como 0<1, o critério da raiz garante que a série converge absolutamente.
Explicação didática curta: o denominador 2^{n^{2}} cresce muito mais rápido que qualquer a^{n} (mesmo para a grande), por isso os termos vão a zero numa taxa exponencial tão forte que a soma converge.

Passo 5

Verificação alternativa (teste da razão) — só para você ficar ainda mais confiante:
Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{a^{n+1}/2^{(n+1)^2}}{a^{n}/2^{n^{2}}}=\frac{a}{2^{(n+1)^2-n^{2}}}=\frac{a}{2^{2n+1}}.
Então
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{2^{2n+1}}=0.
Pelo critério da razão, como o limite é 0<1, a série também converge absolutamente. Resultado consistente com o critério da raiz.

Passo 6

Conclusão final e comentário prático: para qualquer a>0 os termos da série decaem extremamente rápido por causa de 2^{n^{2}} no denominador; tanto o critério da raiz quanto o da razão mostram que a série converge absolutamente. Isso significa que, na hora da prova, basta aplicar a raiz n-ésima e observar que \sqrt[n]{u_n}=a/2^{n}\to0 para concluir rapidamente.
Força aí — essa é daquelas séries “assustadoras” no enunciado, mas que caem fácil com o critério certo!

Resposta

A série converge absolutamente para todo a>0.

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