Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries: \sum \frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}
E pede: determinar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}.
Os termos são positivos para todo n\in\mathbb{N}.
Não há outros dados numéricos; a análise deve vir de propriedades assintóticas/comparação.
Passo 2
Ideia de método (explicando por que escolhi): como os termos são positivos, testes de comparação com séries conhecidas são naturais. Um candidato óbvio é comparar com uma série do tipo [\displaystyle\sum \frac{1}{n^{p}}) (chamada série p-), porque para grandes n a expressão \sqrt{n^{3}+1} se parece com n^{3/2}. Vou lembrar qual é o resultado sobre séries p:
O critério para séries p (fato usado): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Uma maneira simples de ver isso é pelo teste da integral: considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. Então
Pelo teste integral (que compara série com integral de função decrescente positiva), a convergência da integral equivale à convergência da série p\]. Exemplos rápidos para fixar a intuição:
- \(p=1: \sum 1/n (série harmônica) diverge.
- p=3/2: \sum 1/n^{3/2} converge porque 3/2>1.]
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: comparar a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{3}+1}} com b_n=\dfrac{1}{n^{3/2}} (uma série p- com p=3/2).
Primeiro uma desigualdade elementar que facilita a comparação: para todo n\ge1 vale
n^{3}+1 \ge n^{3}.
Tomando raízes não-negativas,
\sqrt{n^{3}+1} \ge \sqrt{n^{3}} = n^{3/2}.
Agora, como ambos os lados são positivos, tomando recíprocos inverte a desigualdade:
\frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Assim, para todo n\ge1 tem-se 0\le a_n \le b_n.
Passo 4
Usando o teste de comparação (forma direta): se 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3/2}} é convergente porque 3/2>1. Como a_n\le b_n para todo n, segue que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}} converge.
Observação alternativa (opcional, só para intuição): pelo teste do quociente limite, calcular
o que também mostra que as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência (porque o limite é finito e positivo).
Passo 5
Conclusão final: a série tem termos positivos e foi comparada com a série p com p=3/2>1; portanto a série dada converge. Além disso, por ter termos positivos, essa convergência é a convergência usual (não há distinção de absoluta/condicional aqui — é apenas convergente).