Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu diga se essa série converge ou diverge. Informação relevante que já dá para anotar: o termo geral da série é
A pergunta a responder é única: “a série converge ou diverge?”
Passo 2
Vamos lembrar um critério básico e muito útil (e fácil de aplicar): o critério do termo geral (também chamado teste do termo geral ou teste da divergência). Ele diz o seguinte:
Se a série
converge, então necessariamente o termo geral
tende a zero quando
; isto é,
Por que isso é verdade (explicação curta e intuitiva)? Se a série converge, as somas parciais
têm limite finito quando
. Então a diferença entre somas parciais consecutivas vai a zero:
Logo, se
, a série não pode convergir. Observação importante: o teste é somente necessário, não suficiente — isto é, mesmo que
a série pode divergir (por exemplo a série harmônica), mas se
a série certamente diverge.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos calcular o limite do termo geral
Para calcular esse limite é comum dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Fazendo isso:
Agora observe que
quando
. Substituindo na expressão acima obtemos o limite:
Também dá para ver de outra forma simples:
e aí claramente tende a
.
Passo 4
Concluímos que
Pelo critério do termo geral, se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir. Portanto a série diverge.
Passo 5
Comentário de reforço (pra te deixar mais seguro na prova): sempre que a expressão do termo geral tende a um número diferente de zero (aqui tende a
), dá para afirmar imediatamente “diverge” sem precisar aplicar testes mais complicados. Se o termo tende a zero aí sim você precisa de outros testes (comparação, razão, integral, etc.) para decidir convergência ou divergência.
Resposta
Diverge.