Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{3}+1}
e pede que eu diga se essa série converge ou diverge. Informação relevante que já dá para anotar: o termo geral da série é
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}.
A pergunta a responder é única: “a série converge ou diverge?”

Passo 2

Vamos lembrar um critério básico e muito útil (e fácil de aplicar): o critério do termo geral (também chamado teste do termo geral ou teste da divergência). Ele diz o seguinte:
Se a série \sum a_{n} converge, então necessariamente o termo geral a_{n} tende a zero quando n\to\infty; isto é,
\text{convergência de }\sum a_{n}\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.ê
Por que isso é verdade (explicação curta e intuitiva)? Se a série converge, as somas parciais
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a_{n}
têm limite finito quando N\to\infty. Então a diferença entre somas parciais consecutivas vai a zero:
a_{N}=S_{N}-S_{N-1}\to 0.
Logo, se \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0, a série não pode convergir. Observação importante: o teste é somente necessário, não suficiente — isto é, mesmo que a_{n}\to 0 a série pode divergir (por exemplo a série harmônica), mas se a_{n}\not\to 0 a série certamente diverge.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, precisamos calcular o limite do termo geral
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}\quad\text{quando }n\to\infty.
Para calcular esse limite é comum dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente (aqui n^{3}). Fazendo isso:
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Agora observe que \dfrac{1}{n^{3}}\to 0 quando n\to\infty. Substituindo na expressão acima obtemos o limite:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{1}{1+0}=1.
Também dá para ver de outra forma simples: \dfrac{n^{3}}{n^{3}+1}=1-\dfrac{1}{n^{3}+1} e aí claramente tende a 1.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=1\neq 0.
Pelo critério do termo geral, se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir. Portanto a série diverge.

Passo 5

Comentário de reforço (pra te deixar mais seguro na prova): sempre que a expressão do termo geral tende a um número diferente de zero (aqui tende a 1), dá para afirmar imediatamente “diverge” sem precisar aplicar testes mais complicados. Se o termo tende a zero aí sim você precisa de outros testes (comparação, razão, integral, etc.) para decidir convergência ou divergência.

Resposta

Diverge.

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