Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Enunciado: temos a série
O que a questão pede: verificar se essa série converge ou diverge.
Informações dadas: o termo geral é . Podemos separar o fator alternante
e a sequência de módulos
(que é positiva para todo
).
Informações dadas: o termo geral é
Passo 2
Apresentando o Critério de Leibniz (explicadinho): se uma série é da forma
com
para todo
, e se as duas condições abaixo são verdadeiras:
-
é monotonicamente decrescente (ou seja, para todo ); -
;
então a série alternada converge.
Por que isso funciona (intuição e ideia de prova curta): os somatórios parciais oscilam entre dois valores que formam duas sequências monotônicas (uma crescente, outra decrescente) e essas oscilações têm amplitude que tende a zero porque . Assim as duas subsequências têm limite igual e a série converge.
Por que isso funciona (intuição e ideia de prova curta): os somatórios parciais oscilam entre dois valores que formam duas sequências monotônicas (uma crescente, outra decrescente) e essas oscilações têm amplitude que tende a zero porque
Passo 3
Identificar
para aplicar o critério: aqui podemos tomar
Primeira verificação simples:
para todo
(pois é uma potência positiva de
).
Passo 4
Verificar monotonicidade (
). Calculemos a relação entre termos consecutivos:
Como
, segue que
para todo
. Logo
é estritamente decrescente.
Passo 5
Verificar o limite
. Como
e
, sabemos que potências de uma razão com valor absoluto menor que 1 tendem a zero, ou seja,
(Explicação curta: multiplicando por
repetidamente, o número vai ficando cada vez menor, tendendo a zero.)
Passo 6
Aplicando o Critério de Leibniz: já mostramos que
, que
é decrescente e que
. Portanto, pela condição do critério, a série
converge.
Passo 7
Observação adicional (útil para prova/entendimento): podemos também verificar convergência absoluta. A série dos módulos é
que é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
. A soma dessa série geométrica é
logo a série de módulos converge, o que implica que a série original converge absolutamente (mesmo resultado mais forte que converge). Como curiosidade, a soma exata da série alternada pode ser obtida como soma de uma geométrica com razão
:
Resposta
A série converge (na verdade converge absolutamente).