Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2^{-n}

Passo 1

Enunciado: temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot 2^{-n}
O que a questão pede: verificar se essa série converge ou diverge.
Informações dadas: o termo geral é (-1)^{n}\cdot 2^{-n}. Podemos separar o fator alternante (-1)^{n} e a sequência de módulos a_{n}=2^{-n} (que é positiva para todo n).

Passo 2

Apresentando o Critério de Leibniz (explicadinho): se uma série é da forma
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}\quad\text{ou}\quad\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n},
com a_{n}\ge 0 para todo n, e se as duas condições abaixo são verdadeiras:
  1. \{a_{n}\} é monotonicamente decrescente (ou seja, a_{n+1}\le a_{n} para todo n);
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=0;
então a série alternada converge.
Por que isso funciona (intuição e ideia de prova curta): os somatórios parciais oscilam entre dois valores que formam duas sequências monotônicas (uma crescente, outra decrescente) e essas oscilações têm amplitude que tende a zero porque a_{n}\to 0. Assim as duas subsequências têm limite igual e a série converge.

Passo 3

Identificar a_{n} para aplicar o critério: aqui podemos tomar
a_{n}=2^{-n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Primeira verificação simples: a_{n}>0 para todo n (pois é uma potência positiva de 1/2).

Passo 4

Verificar monotonicidade ( a_{n+1}\le a_{n}). Calculemos a relação entre termos consecutivos:
a_{n+1}=2^{-(n+1)}=\tfrac{1}{2}\,2^{-n}=\tfrac{1}{2}a_{n}.
Como \tfrac{1}{2}<1, segue que a_{n+1}=\tfrac{1}{2}a_{n}<a_{n} para todo n. Logo \{a_{n}\} é estritamente decrescente.

Passo 5

Verificar o limite \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Como a_{n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} e |\tfrac{1}{2}|<1, sabemos que potências de uma razão com valor absoluto menor que 1 tendem a zero, ou seja,
\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0.
(Explicação curta: multiplicando por 1/2 repetidamente, o número vai ficando cada vez menor, tendendo a zero.)

Passo 6

Aplicando o Critério de Leibniz: já mostramos que a_{n}=2^{-n}\ge 0, que a_{n} é decrescente e que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Portanto, pela condição do critério, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot 2^{-n}
converge.

Passo 7

Observação adicional (útil para prova/entendimento): podemos também verificar convergência absoluta. A série dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n}2^{-n}|=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n},
que é uma série geométrica com primeiro termo 2^{-1}=\tfrac{1}{2} e razão \tfrac{1}{2}. A soma dessa série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1,
logo a série de módulos converge, o que implica que a série original converge absolutamente (mesmo resultado mais forte que converge). Como curiosidade, a soma exata da série alternada pode ser obtida como soma de uma geométrica com razão r=-\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}2^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})}=-\tfrac{1}{3}.

Resposta

A série converge (na verdade converge absolutamente).

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