Questão 3 Determine a forma geral da solução particular de cada uma das seguintes edos:
(c) (1,0 ponto)
.
(c) (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede que determinemos a forma geral da solução particular. Ou seja, queremos escrever um palpite (ansatz) para
que contenha parâmetros constantes que, ao serem ajustados, podem produzir qualquer termo do lado direito. As informações relevantes: o lado direito é soma de
e de um polinômio de grau 1 multiplicando
, isto é,
.
Passo 2
Primeiro vamos analisar a parte homogênea para ver se há ressonância. A equação homogênea correspondente é
A equação característica é
cuja solução é
Isso significa que as soluções fundamentais da homogênea são
Observação importante: como
e
já estão na solução homogênea, qualquer termo forçado proporcional a
ou
é ressonante.
Passo 3
Agora explico o método dos coeficientes indeterminados (de forma didática). Quando o termo do lado direito é uma combinação de funções tipo polinômio vezes
ou
, o palpite padrão é
onde
e
são polinômios de grau
iguais ao grau do polinômio multiplicador no lado direito. Mas se
for raiz do polinômio característico da homogênea com multiplicidade
, então é necessário multiplicar esse palpite por
para evitar que o ansatz coincida com soluções da homogênea. Aqui
é a multiplicidade da raiz complexa
.
Passo 4
Aplicando a regra acima ao nosso problema: o lado direito contém termos com
. Como
são raízes simples (multiplicidade
) do polinômio característico, devemos multiplicar o palpite por
. Além disso, o termo
tem um polinômio de grau
multiplicando
, logo devemos usar polinômios de grau
em
e
.
Passo 5
Combinando tudo: sem ressonância multiplicativa teríamos
pois
. Mas devido à ressonância (as funções trigonométricas já aparecem na homogênea) multiplicamos por
. Portanto o ansatz adequado é
onde
são constantes a determinar. Vou explicar por que esse ansatz é suficiente: ele permite termos em
. Ao derivar duas vezes, aparecem também termos em
e
sem fator
, de modo que a combinação linear pode reproduzir um termo
e um termo
do lado direito após ajuste de
.
Passo 6
Resumo final e comentário prático: para encontrar os valores de
você substituiria esse
em
e igualaria os coeficientes em frente a
,
,
,
, etc., obtendo um sistema linear para as constantes. Mas como a questão pede apenas a forma geral da solução particular, não precisamos resolver esse sistema aqui.
Resposta
onde
são constantes.