Questão 3 Determine a forma geral da solução particular de cada uma das seguintes edos:
(c) (1,0 ponto) x^{\prime \prime}+4 x=\cos (2 t)+(6 t+7) \operatorname{sen}(2 t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
x''+4x=\cos(2t)+(6t+7)\operatorname{sen}(2t),
e pede que determinemos a forma geral da solução particular. Ou seja, queremos escrever um palpite (ansatz) para x_p(t) que contenha parâmetros constantes que, ao serem ajustados, podem produzir qualquer termo do lado direito. As informações relevantes: o lado direito é soma de \cos(2t) e de um polinômio de grau 1 multiplicando \operatorname{sen}(2t), isto é, (6t+7)\operatorname{sen}(2t).

Passo 2

Primeiro vamos analisar a parte homogênea para ver se há ressonância. A equação homogênea correspondente é
x''+4x=0.
A equação característica é
r^{2}+4=0,
cuja solução é
r=\pm 2i.
Isso significa que as soluções fundamentais da homogênea são
\cos(2t)\quad\text{e}\quad\operatorname{sen}(2t).
Observação importante: como \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t) já estão na solução homogênea, qualquer termo forçado proporcional a \cos(2t) ou \operatorname{sen}(2t) é ressonante.

Passo 3

Agora explico o método dos coeficientes indeterminados (de forma didática). Quando o termo do lado direito é uma combinação de funções tipo polinômio vezes \cos(\omega t) ou \operatorname{sen}(\omega t), o palpite padrão é
x_p(t)=P_{m}(t)\cos(\omega t)+Q_{m}(t)\operatorname{sen}(\omega t),
onde P_{m} e Q_{m} são polinômios de grau m iguais ao grau do polinômio multiplicador no lado direito. Mas se \pm i\omega for raiz do polinômio característico da homogênea com multiplicidade s\ge 1, então é necessário multiplicar esse palpite por t^{s} para evitar que o ansatz coincida com soluções da homogênea. Aqui s é a multiplicidade da raiz complexa \pm i\omega.

Passo 4

Aplicando a regra acima ao nosso problema: o lado direito contém termos com \omega=2. Como \pm 2i são raízes simples (multiplicidade s=1) do polinômio característico, devemos multiplicar o palpite por t^{1}=t. Além disso, o termo (6t+7)\operatorname{sen}(2t) tem um polinômio de grau 1 multiplicando \operatorname{sen}(2t), logo devemos usar polinômios de grau m=1 em P_{m} e Q_{m}.

Passo 5

Combinando tudo: sem ressonância multiplicativa teríamos
x_{p,\text{sem ressonância}}(t)=(At+B)\cos(2t)+(Ct+D)\operatorname{sen}(2t),â
pois m=1. Mas devido à ressonância (as funções trigonométricas já aparecem na homogênea) multiplicamos por t. Portanto o ansatz adequado é
x_{p}(t)=t\bigl((A t+B)\cos(2t)+(C t+D)\operatorname{sen}(2t)\bigr),
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Vou explicar por que esse ansatz é suficiente: ele permite termos em t^{2}\cos(2t),\,t\cos(2t),\,t^{2}\operatorname{sen}(2t),\,t\operatorname{sen}(2t). Ao derivar duas vezes, aparecem também termos em \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t) sem fator t, de modo que a combinação linear pode reproduzir um termo \cos(2t) e um termo (6t+7)\operatorname{sen}(2t) do lado direito após ajuste de A,B,C,D.

Passo 6

Resumo final e comentário prático: para encontrar os valores de A,B,C,D você substituiria esse x_p(t) em x''+4x e igualaria os coeficientes em frente a \cos(2t), \operatorname{sen}(2t), t\cos(2t), t\operatorname{sen}(2t), etc., obtendo um sistema linear para as constantes. Mas como a questão pede apenas a forma geral da solução particular, não precisamos resolver esse sistema aqui.

Resposta

x_{p}(t)=t\bigl((A t+B)\cos(2t)+(C t+D)\operatorname{sen}(2t)\bigr),
onde A,B,C,D são constantes.

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