Resolva as equacées
(a) y^{\prime}+\frac{1}{t} y=2 \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'+\frac{1}{t}y=2\operatorname{sen}(2t).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem para a função y(t).
  • O coeficiente \frac{1}{t} mostra que t=0 é ponto singulare: a solução é buscada para t\neq 0.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então procuramos a solução geral com constante arbitrária C.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão
y'+p(t)y=g(t),
onde, aqui,
p(t)=\frac{1}{t},\qquad g(t)=2\operatorname{sen}(2t).
Para resolver usamos o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\Big(\int p(t)\,dt\Big)=\exp\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big).
Calculamos a integral:
\int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t| \quad\Rightarrow\quad \mu(t)=e^{\ln|t|}=|t|.
Comentário didático: o fator integrante transforma o lado esquerdo da equação numa derivada total. Para simplificar a escrita escolhemos \mu(t)=t em cada intervalo onde t>0 e \mu(t)=-t em cada intervalo onde t<0. Usar \mu(t)=t vai dar a solução geral válida para t\neq0 (o sinal pode ser absorvido na constante de integração).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=t. Obtemos
t y' + y = 2t\operatorname{sen}(2t).
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto t y (regra do produto): de fato
(t y)' = t y' + y.
Portanto podemos reescrever a equação como
(t y)' = 2t\operatorname{sen}(2t).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t y = \int 2t\operatorname{sen}(2t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
\int 2t\operatorname{sen}(2t)\,dt = 2\int t\operatorname{sen}(2t)\,dt.

Passo 5

Calculamos I=\int t\operatorname{sen}(2t)\,dt por integração por partes. Lembrando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
escolhemos u=t e dv=\operatorname{sen}(2t)\,dt. Então
du = dt,\qquad v=\int \operatorname{sen}(2t)\,dt = -\tfrac{1}{2}\cos(2t).
Aplicando a fórmula:
I = t\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\Big) - \int \Big(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\Big)\,dt.
Isso é
I = -\tfrac{t}{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\int \cos(2t)\,dt.
Calculamos a última integral:
\int \cos(2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t).
Logo
I = -\tfrac{t}{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t) = -\tfrac{t}{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}(2t).
Multiplicando por 2 para voltar à integral original:
\int 2t\operatorname{sen}(2t)\,dt = 2I = -t\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t).

Passo 6

Voltando à expressão para t y:
t y = -t\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t) + C.
Agora dividimos por t (lembrando t\neq 0):
y(t) = -\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\,\frac{\operatorname{sen}(2t)}{t} + \frac{C}{t}.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Observação didática: a solução está definida em qualquer intervalo que não contenha t=0; para t>0 e t<0 a forma acima é válida (o possível sinal de \mu é absorvido em C).

Passo 7

Comentário final e verificação rápida: como construímos a solução integrando a igualdade (ty)'=2t\operatorname{sen}(2t), ao derivar ty obtemos exatamente o lado direito; portanto a solução encontrada satisfaz a equação original. Se for preciso verificar term a termo, deriva-se y(t) e substitui-se em y'+\frac{1}{t}y para confirmar que dá 2\operatorname{sen}(2t).

Resposta

y(t)=-\cos(2t)+\frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{sen}(2t)}{t}+\frac{C}{t},\qquad t\neq 0,
onde C é constante arbitrária.

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