Resolva as equacées
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação é uma equação diferencial de primeira ordem para a função
. - O coeficiente
mostra que é ponto singulare: a solução é buscada para . - Não há condições iniciais fornecidas, então procuramos a solução geral com constante arbitrária
.
Passo 2
Colocamos a equação no formato padrão
onde, aqui,
Para resolver usamos o fator integrante
definido por
Calculamos a integral:
Comentário didático: o fator integrante transforma o lado esquerdo da equação numa derivada total. Para simplificar a escrita escolhemos
em cada intervalo onde
e
em cada intervalo onde
. Usar
vai dar a solução geral válida para
(o sinal pode ser absorvido na constante de integração).
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
(regra do produto): de fato
Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Passo 5
Calculamos
por integração por partes. Lembrando a fórmula
escolhemos
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Isso é
Calculamos a última integral:
Logo
Multiplicando por
para voltar à integral original:
Passo 6
Voltando à expressão para
:
Agora dividimos por
(lembrando
):
Aqui
é uma constante arbitrária real. Observação didática: a solução está definida em qualquer intervalo que não contenha
; para
e
a forma acima é válida (o possível sinal de
é absorvido em
).
Passo 7
Comentário final e verificação rápida: como construímos a solução integrando a igualdade
, ao derivar
obtemos exatamente o lado direito; portanto a solução encontrada satisfaz a equação original. Se for preciso verificar term a termo, deriva-se
e substitui-se em
para confirmar que dá
.
Resposta
onde
é constante arbitrária.