Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a série
converge de forma uniforme no intervalo
utilizando o Critério M de Weierstrass. Isso envolve entender o que é convergência uniforme e como aplicar o Critério M para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério diz que se conseguimos encontrar uma sequência de números
tal que para todo
no intervalo considerado, a desigualdade
é verdadeira, e se a série
converge, então a série
converge uniformemente no intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Temos
. Queremos encontrar um
que seja um limite superior para
em todo o intervalo
.
Passo 4
Observando a expressão
, percebemos que quanto maior o valor de
, menor será o valor da fração, já que
está no denominador. Portanto, o valor máximo ocorre quando
é mínimo no intervalo, ou seja, quando
.
Assim, podemos definir
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a série
converge. Sabemos que a série
converge (é uma série p com
), e como
para todo
, pela comparação, a série
também converge.
Passo 6
Como encontramos uma sequência
que satisfaz
para todo
e a série
converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série
converge de forma uniforme no intervalo
.
Resposta
Portanto, utilizando o Critério M de Weierstrass, mostramos que a série
converge uniformemente no intervalo
.