Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
sumn=1^infty 11+n^2 x em [1, +infty[

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a série sumn=1^infty 11+n^2 x converge de forma uniforme no intervalo [1, +infty[ utilizando o Critério M de Weierstrass. Isso envolve entender o que é convergência uniforme e como aplicar o Critério M para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério diz que se conseguimos encontrar uma sequência de números Mn tal que para todo x no intervalo considerado, a desigualdade |fn(x)| <= Mn é verdadeira, e se a série sumn=1^infty Mn converge, então a série sumn=1^infty fn(x) converge uniformemente no intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Temos fn(x) = 11 + n^2 x. Queremos encontrar um Mn que seja um limite superior para |fn(x)| em todo o intervalo [1, +infty[.

Passo 4

Observando a expressão 11 + n^2 x, percebemos que quanto maior o valor de x, menor será o valor da fração, já que n^2 x está no denominador. Portanto, o valor máximo ocorre quando x é mínimo no intervalo, ou seja, quando x = 1.
Assim, podemos definir Mn = 11 + n^2 cdot 1 = 11 + n^2.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a série sumn=1^infty Mn = sumn=1^infty 11 + n^2 converge. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 converge (é uma série p com p=2 > 1), e como 11 + n^2 <= 1n^2 para todo n >= 1, pela comparação, a série sumn=1^infty 11 + n^2 também converge.

Passo 6

Como encontramos uma sequência Mn = 11 + n^2 que satisfaz |fn(x)| <= Mn para todo x in [1, +infty[ e a série sum Mn converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série sumn=1^infty 11 + n^2 x converge de forma uniforme no intervalo [1, +infty[.

Resposta

Portanto, utilizando o Critério M de Weierstrass, mostramos que a série sumn=1^infty 11+n^2 x converge uniformemente no intervalo [1, +infty[.

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