Usando os critérios de divisibilidade e o crivo de Eratóstenes, encontre a decomposição, no produto de potências de primos, do número 36267. Encontre também a expressão na base 15 do mesmo número (algarismos: 0, \ldots, 9, A, B, C, D, E ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A decomposição de 36267 em produto de potências de primos, usando critérios de divisibilidade e ideias do crivo de Eratóstenes.
  2. A representação de 36267 na base 15, usando os dígitos 0,\dots,9,A,B,C,D,E.

Passo 2

Aplicamos o critério de divisibilidade por 3: a soma dos dígitos de 36267 é 3+6+2+6+7=24, que é múltiplo de 3. Logo,
36267 \div 3 = 12089.

Passo 3

Agora fatoramos 12089. Testando primos em ordem (2,3,5 não funcionam) chegamos em 7 e vemos que
12089 \div 7 = 1727,
pois 7 \times 1727 = 12089.

Passo 4

Para 1727, testamos novamente primos: não é par nem múltiplo de 3 ou 5, mas
1727 \div 11 = 157,
já que 11 \times 157 = 1727.

Passo 5

Restou 157. Verificamos sua primalidade testando divisões por primos até \sqrt{157}\approx12{,}5: não é divisível por 2,3,5, 7,11,13. Logo, 157 é primo.

Passo 6

Reunindo fatores, obtemos a decomposição em primos:
36267 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 157.

Passo 7

Para converter 36267 para base 15, dividimos repetidamente por 15 e anotamos os restos:
36267 \div 15 = 2417 \quad\text{resto }12,
2417 \div 15 = 161 \quad\text{resto }2,
161 \div 15 = 10 \quad\text{resto }11,
10 \div 15 = 0 \quad\text{resto }10.
Lendo os restos de baixo para cima: 10,11,2,12, que em base 15 viram os dígitos A,B,2,C.

Passo 8

Portanto, a representação de 36267 na base 15 é
(AB2C)_{15}.

Resposta

36267 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 157
Em base 15: (AB2C)_{15}

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