Encontre, se existir, a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1& 2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é inversão de matriz 3\times 3 por operações elementares: vamos montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I_3\bigr] e escaloná-la até obter \bigl[I_3\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos o elemento da posição (3,1) somando a linha 1 na linha 3:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ -1& 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_3\to R_3+R_1}\; \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o pivô da linha 2 (que é 1 em (2,2)) para zerar as entradas acima e abaixo na coluna 2:
R_1\to R_1-2R_2,\quad R_3\to R_3-4R_2
produz
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -3 & 1 & -4 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora normalizamos o pivô em (3,3) e eliminamos as outras entradas da coluna 3:
R_3\to -\tfrac13\,R_3 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac13 & \tfrac43 & -\tfrac13 \end{array}\right]
e em seguida
R_1\to R_1+2R_3,\quad R_2\to R_2-R_3 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac23\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac13 & -\tfrac13& \tfrac13\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac13& \tfrac43 & -\tfrac13 \end{array}\right].

Resposta

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac23\\[6pt] \tfrac13 & -\tfrac13& \tfrac13\\[6pt] -\tfrac13& \tfrac43 & -\tfrac13 \end{pmatrix}.]

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