Verifique se o seguinte sistema de equações congruenciais é solucionável e, em caso afirmativo, encontre o conjunto das soluções:
\left\{\begin{array}{ll} x \equiv 11 & (\bmod 7) \\ x \equiv 14 & (\bmod 6) \\ x \equiv 21 & (\bmod 11) \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema
\begin{cases} x \equiv 11 \pmod{7},\\\ x \equiv 14 \pmod{6},\\\ x \equiv 21 \pmod{11} \end{cases}
é solucionável e, em caso afirmativo, encontrar todas as soluções. O conteúdo aplicado aqui é o Teorema Chinês dos Restos (CRT), que garante solução única módulo o mínimo múltiplo comum dos módulos sempre que estes sejam coprimos dois a dois.

Passo 2

Primeiro simplificamos cada congruência, reduzindo o resto ao intervalo usual:
11 \equiv 4 \pmod{7},\quad 14 \equiv 2 \pmod{6},\quad 21 \equiv 10 \pmod{11}.
Assim o sistema equivale a
\begin{cases} x \equiv 4 \pmod{7},\\\ x \equiv 2 \pmod{6},\\\ x \equiv 10 \pmod{11}. \end{cases}

Passo 3

Vamos combinar as duas primeiras congruências, que têm módulos 7 e 6 (gcd (7,6)=1). Escrevemos
x = 7k + 4
e impomos x \equiv 2\pmod{6}:
7k + 4 \equiv 2 \pmod{6} \;\Longrightarrow\; 7k \equiv -2 \equiv 4 \pmod{6}.
Como 7 \equiv 1\pmod{6}, isto dá
k \equiv 4 \pmod{6},
ou seja k = 6t + 4. Substituindo em x:
x = 7(6t+4) + 4 = 42t + 28 + 4 = 42t + 32.
Logo
x \equiv 32 \pmod{42}.

Passo 4

Agora combinamos
x \equiv 32 \pmod{42} \quad\text{e}\quad x \equiv 10 \pmod{11},
sabendo que gcd (42,11)=1. Pondo
x = 42k + 32
e exigindo x \equiv 10\pmod{11}:
42k + 32 \equiv 10 \pmod{11} \;\Longrightarrow\; 42k \equiv 10 - 32 \equiv -22 \equiv 0 \pmod{11}.
Como 42\equiv 9\pmod{11} e \gcd(9,11)=1, multiplicamos pela inversa de 9 (que é 5) para obter
k \equiv 0 \pmod{11},
isto é k = 11t. Logo
x = 42\,(11t) + 32 = 462t + 32,
ou seja
x \equiv 32 \pmod{462}.

Passo 5

Como os módulos 7, 6 e 11 são coprimos dois a dois, o CRT garante que o sistema original é solucionável e que a solução é única módulo
\mathrm{lcm}(7,6,11)=7\cdot6\cdot11=462.

Resposta

O sistema é solucionável e o conjunto de todas as soluções é
\{\,x\mid x \equiv 32 \pmod{462}\} \quad\text{ou seja}\quad x = 32 + 462n,\;n\in\mathbb{Z}.

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