Seja A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 5 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]. O vetor (2, \alpha, \beta )é um auto vetor associado ao autovalor 5. Determine a soma \alpha+\beta.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\\\ 0 & 5 & 2\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e diz que \bigl(2,\alpha,\beta\bigr) é autovetor de autovalor 5.
Para achar um autovetor associado a \lambda=5, basta resolver
\bigl(A - 5I\bigr)\begin{pmatrix}2\\alpha\\beta\end{pmatrix} = 0.

Passo 2

Escrevendo \!A-5I e aplicando no vetor, obtemos o sistema
\begin{pmatrix} -2-5 & 1 & -1\\[6pt] 0 & 5-5 & 2\\[3pt] 0 & 0 & -1-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\alpha\\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é
\begin{cases} (-7)\cdot 2 \;+\;\alpha \;-\;\beta \;=\;0,\\\\ 2\,\beta \;=\;0,\\\ (-6)\,\beta \;=\;0. \end{cases}]

Passo 3

Da segunda equação vem \beta=0. Substituindo na primeira:
-14 + \alpha - 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 14.
Logo \alpha=14 e \beta=0, e
\alpha + \beta = 14 + 0 = 14.

Resposta

14

Exercícios relacionados