Usando a decomposição em frações parciais, calcule a integral indefinida:
integral 5 x-8x^2-3 x+2 d x

Passo 1

O objetivo é calcular a integral indefinida integral 5x -8x^2 -3x +2,dx usando decomposição em frações parciais. Esse conteúdo envolve integração de funções racionais e vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2 -3x +2 = (x -1)(x -2)
Isso nos prepara para escrever a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Escrevemos
5x -8(x -1)(x -2) = Ax -1 + Bx -2
e multiplicamos por (x -1)(x -2). Comparando coeficientes, obtemos o sistema A + B = 5 e -2A - B = -8. Resolvendo, achamos A = 3 e B = 2.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral 5x -8x^2 -3x +2,dx = integral (3x -1 + 2x -2),dx
Integrando termo a termo e usando integral 1x -a,dx = ln|x -a| + C, chegamos a
3 ln|x -1| + 2 ln|x -2| + C

Resposta

3 ln|x -1| + 2 ln|x -2| + C

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