Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de f(x) = (1–x) e^{–|x–1|} usando transformadas conhecidas e propriedades operacionais. O conteúdo envolve a transformada de Fourier de e^{–|x|}, a propriedade de deslocamento no tempo e a propriedade que liga multiplicação por x no tempo a derivada em frequência.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos f(x) como um sinal deslocado. Definindo y = x–1, vemos que f(x) = (1–x)e^{–|x–1|} = –(x–1)e^{–|x–1|} = –y e^{–|y|}. Assim f(x)=h(x–1) onde h(y)=–y e^{–|y|}.
Passo 3
Sabendo que a transformada de Fourier de e^{–|x|} é
Usamos a propriedade que multiplica por x no domínio do tempo vira derivada em frequência:
Passo 4
Calculamos H(\omega)=\mathcal{F}{h(y)}=\mathcal{F}{–y e^{–|y|}}(\omega)= –i\frac{d}{d\omega}\left[\frac{2}{1+\omega^2}\right]= –i\left(–\frac{4\omega}{(1+\omega2)2}\right)=\frac{4i,\omega}{(1+\omega2)2}.
Passo 5
Por fim, aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo: se f(x)=h(x–1), então
Portanto, a transformada de Fourier de f(x) é dada por F(\omega)=4i,\omega,e{–i\omega}/(1+\omega2)^2.