Verifique a convergência da integral imprópria. Caso convergente, obtenha o valor da integral.
integral0^+infty e^-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que você me mandou:
integral0^+infty e^-3 x d x
Aqui, a gente está lidando com cálculo de integrais que têm limites infinitos, o que chamamos de integrais impróprias. Precisamos verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Se sim, vamos calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: $ e^{-3x} $. Essa é uma função exponencial decrescente, porque o coeficiente de $ x $ é negativo. À medida que $ x $ aumenta, $ e^{-3x} $ se aproxima de zero.

Passo 3

Para resolver a integral imprópria, vamos reescrevê-la com um limite:
integral0^+infty e^-3x dx = limb to +infty integral0^b e^-3x dx
Isso significa que vamos integrar a função de 0 até um valor $ b $ que tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de $ e^{-3x} $ de 0 a $ b $:
e^-3x
A integral de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{k} e^{kx} $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = -3 $.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral, temos:
integral e^-3x dx = 1-3 e^-3x + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar $ C $ e avaliar de 0 a $ b $.

Passo 6

Vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a $ b $:
b
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então simplificamos:
[ 1-3 e^-3x ]0^b = 1-3 e^-3b - 1-3 e^0

Passo 7

Agora, vamos aplicar o limite quando $ b $ tende ao infinito:
b
Como $ e^{-3b} $ tende a zero quando $ b $ vai para o infinito, temos:
limb to +infty ( -13 e^-3b + 13 )

Resposta

A integral imprópria $ \int_{0}^{+\infty} e^{-3x} dx $ converge e seu valor é $ \frac{1}{3} $.

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