Verifique a convergência da integral imprópria. Caso convergente, obtenha o valor da integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que você me mandou:
Aqui, a gente está lidando com cálculo de integrais que têm limites infinitos, o que chamamos de integrais impróprias. Precisamos verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Se sim, vamos calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: $ e^{-3x} $. Essa é uma função exponencial decrescente, porque o coeficiente de $ x $ é negativo. À medida que $ x $ aumenta, $ e^{-3x} $ se aproxima de zero.
Passo 3
Para resolver a integral imprópria, vamos reescrevê-la com um limite:
Isso significa que vamos integrar a função de 0 até um valor $ b $ que tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de $ e^{-3x} $ de 0 a $ b $:
A integral de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{k} e^{kx} $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = -3 $.
Passo 5
Aplicando a fórmula da integral, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar $ C $ e avaliar de 0 a $ b $.
Passo 6
Vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a $ b $:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então simplificamos:
Passo 7
Agora, vamos aplicar o limite quando $ b $ tende ao infinito:
Como $ e^{-3b} $ tende a zero quando $ b $ vai para o infinito, temos:
Resposta
A integral imprópria $ \int_{0}^{+\infty} e^{-3x} dx $ converge e seu valor é $ \frac{1}{3} $.