Usando a definição, calcule a derivada de cada umas das funções abaixo:
b) f(x)=1raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=1raizx para x>0 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos precisar montar o quociente incremental e depois racionalizar o numerador para conseguir o limite.

Passo 2

Escrevendo o quociente incremental, temos
f(x+h)-f(x)h =1raizx+h-1raizxh

Passo 3

Para simplificar, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por raizx+h+raizx:
1raizx+h-1raizxh =raizx-raizx+hh,raizx+h,raizx =-(raizx+h-raizx)h,raizx+h,raizx =-hh,raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx) =-1raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando hto0. Como raizx+htoraizx, fica
f'(x) =limhto0gl(-1raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx)gr) =-1raizx,raizx,(2raizx) =-12xraizx =-12x^3/2

Resposta

f'(x)=-12x^3/2, x>0

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