Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando o ângulo e os comprimentos dos lados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando substituição trigonométrica. Note que
o que sugere a escolha da substituição
Com isso, vamos desenhar o triângulo retângulo associado: o ângulo tem como cateto adjacente de comprimento e hipotenusa de comprimento , de modo que o cateto oposto vale
Passo 2
Fazendo a substituição
segue que
e também
Passo 3
Substituindo na integral original, obtemos
Como , a integral vira
Passo 4
Usamos as primitivas conhecidas:
integral sec^3theta,dtheta = tfrac12l(sectheta,tantheta + lnl|sectheta+tanthetar|r) + C
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integral l(sec^3theta - secthetar),dtheta = 12sectheta,tantheta + 12lnl|sectheta+tanthetar| - lnl|sectheta+tanthetar| + C
= 12sectheta,tantheta - 12lnl|sectheta+tanthetar| + C
Passo 5
Retornando à variável x:
sectheta = x+1, tantheta = raizx^2+2x
Portanto a primitiva é
12(x+1),raizx^2+2x - 12lnl|,x+1+raizx^2+2xr| + C
Resposta
boxed integral raizx^2+2x,dx = 12(x+1)raizx^2+2x - 12lnl|x+1+raizx^2+2xr| + C