Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando o ângulo theta e os comprimentos dos lados.
integral raizx^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raizx^2+2x,dx
usando substituição trigonométrica. Note que
x^2+2x = (x+1)^2-1,
o que sugere a escolha da substituição
x+1 = sectheta
Com isso, vamos desenhar o triângulo retângulo associado: o ângulo theta tem como cateto adjacente de comprimento 1 e hipotenusa de comprimento x+1, de modo que o cateto oposto vale
raiz(x+1)^2-1 = raizx^2+2x

Passo 2

Fazendo a substituição
x+1 = sectheta,
segue que
x = sectheta - 1, dx = secthetatantheta,dtheta,
e também
raizx^2+2x = raizsec^2theta-1 = tantheta

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral raizx^2+2x,dx = integral l(tanthetar)l(sectheta,tantheta,dthetar) = integral sectheta,tan^2theta,dtheta
Como tan^2theta = sec^2theta - 1, a integral vira
integral sectheta,(sec^2theta - 1),dtheta = integral l(sec^3theta - secthetar),dtheta

Passo 4

Usamos as primitivas conhecidas:
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta+tanthetar| + C,
integral sec^3theta,dtheta = tfrac12l(sectheta,tantheta + lnl|sectheta+tanthetar|r) + C
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integral l(sec^3theta - secthetar),dtheta = 12sectheta,tantheta + 12lnl|sectheta+tanthetar| - lnl|sectheta+tanthetar| + C
= 12sectheta,tantheta - 12lnl|sectheta+tanthetar| + C

Passo 5

Retornando à variável x:
sectheta = x+1, tantheta = raizx^2+2x
Portanto a primitiva é
12(x+1),raizx^2+2x - 12lnl|,x+1+raizx^2+2xr| + C

Resposta

boxed integral raizx^2+2x,dx = 12(x+1)raizx^2+2x - 12lnl|x+1+raizx^2+2xr| + C

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