Mostre que se a é um inteiro ímpar, então 24 mid a(a^2-1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a é um inteiro ímpar, então 24mid a(a^2-1). O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade em inteiros, mais especificamente propriedades de produto de inteiros consecutivos. Vamos usar que três inteiros consecutivos têm múltiplo de 3 e que dois pares consecutivos têm múltiplo de 8.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o produto para ver a estrutura de três consecutivos. Podemos escrever:
a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)
Isso mostra que estamos lidando com três inteiros consecutivos: a-1, a e a+1.

Passo 3

Entre três inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de 3. Logo, 3 divide a(a-1)(a+1). Em símbolos, temos 3mid a(a-1)(a+1).

Passo 4

Como a é ímpar, ambos a-1 e a+1 são pares. Além disso, dois pares consecutivos implicam que um deles é múltiplo de 4. Assim, 2mid(a-1), 2mid(a+1) e um deles satisfaz 4mid(a-1)(a+1). No total, 8mid(a-1)(a+1), e portanto 8mid a(a-1)(a+1).

Passo 5

Juntando as divisibilidades por 3 e por 8, concluímos que 24=3times8 divide a(a-1)(a+1)=a(a^2-1), como queríamos.

Resposta

24mid a(a^2-1)

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