Mostre que se
é um inteiro ímpar, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um inteiro ímpar, então
. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade em inteiros, mais especificamente propriedades de produto de inteiros consecutivos. Vamos usar que três inteiros consecutivos têm múltiplo de 3 e que dois pares consecutivos têm múltiplo de 8.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o produto para ver a estrutura de três consecutivos. Podemos escrever:
Isso mostra que estamos lidando com três inteiros consecutivos:
,
e
.
Passo 3
Entre três inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de 3. Logo, 3 divide
. Em símbolos, temos
.
Passo 4
Como
é ímpar, ambos
e
são pares. Além disso, dois pares consecutivos implicam que um deles é múltiplo de 4. Assim,
,
e um deles satisfaz
. No total,
, e portanto
.
Passo 5
Juntando as divisibilidades por 3 e por 8, concluímos que
divide
, como queríamos.