Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (épsilon–delta), que
Informações dadas e o que devemos usar:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - O valor candidato do limite é
. - Devemos provar que, para todo
, existe tal que, sempre que , segue .
Passo 2
Lembrando a definição (em palavras e fórmula): dizer que
significa que
para todo existe
tal que, se
, então
para todo
Nossa tarefa é, dado um
arbitrário, construir um
que garanta essa desigualdade. Vou manipular a expressão
algebricamente para obter um fator
(ou uma potência dele) e então controlar o resto por uma escolha apropriada de
.
Passo 3
Calculemos a diferença em forma própria:
Colocando em único quociente:
Fatorando o numerador:
Portanto, em módulo,
Passo 4
Para usar a expressão acima precisamos garantir que o denominador não se aproxime de zero quando
está perto de
. Note que
e
(ou seja, o denominador em
é
, não zero). Vamos mostrar que existe um bairro de
onde
é pelo menos uma constante positiva (por exemplo
).
Calcule a diferença:
Fatorando,
Logo
Passo 5
Escolhemos inicialmente um pequeno intervalo em torno de
para controlar
. Se
então
, e para esses
temos
. Assim, para
,
Agora, se além disso exigirmos
, obtemos
Pela desigualdade triangular reversa,
Portanto, tomando qualquer
(ou menor), para
temos
.
Passo 6
Usando essa cota do denominador na fórmula do Passo 3, para
obtemos
Queremos garantir
. Isso se consegue pedindo
Passo 7
Agora fazemos a escolha final do
. Dado um
arbitrário, defina
Então, sempre que
temos simultaneamente
(logo
) e
(logo
). Combinando,
Isso mostra exatamente a condição da definição épsilon–delta.