Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (epsilon-delta), que
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos provar que, para todo
, existe tal que, sempre que , valha .
Passo 2
Lembrando a definição formal do limite:
Aqui
é um número positivo arbitrário que representa a tolerância no valor da função, e
é a tolerância no argumento
que devemos encontrar a partir de
.
Passo 3
Calculemos a diferença entre
e o valor proposto
e simplifiquemos:
Fatorando essa expressão temos
Portanto
Passo 4
Queremos controlar
por um número fixo quando
estiver suficientemente perto de
. Uma escolha simples e comum é restringir
para que
. Se
então
está no intervalo
. Para
vale
logo
Assim, sempre que
temos a estimativa
Passo 5
Agora relacionamos isso com
. Queremos
, ou seja
. Para garantir também a hipótese usada acima (
), escolhemos
Verificação final: seja
dado e tome
como acima. Se
então, em particular,
(portanto
) e
. Assim
Isso completa a prova usando a definição: para todo
existe
(escolhida acima) que garante
sempre que
.