Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5}\left(x^{2}-3 x\right)=10

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (epsilon-delta), que
\lim_{x\to 5}\left(x^{2}-3x\right)=10.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}-3x.
  • Queremos provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-5|<\delta, valha |f(x)-10|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrando a definição formal do limite:
\text{Para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-5|<\delta\text{ então }|f(x)-10|<\varepsilon.ã
Aqui \varepsilon é um número positivo arbitrário que representa a tolerância no valor da função, e \delta é a tolerância no argumento x que devemos encontrar a partir de \varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença entre f(x) e o valor proposto 10 e simplifiquemos:
f(x)-10 = x^{2}-3x-10.
Fatorando essa expressão temos
x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2).
Portanto
|f(x)-10| = |x-5|\cdot|x+2|.

Passo 4

Queremos controlar |x+2| por um número fixo quando x estiver suficientemente perto de 5. Uma escolha simples e comum é restringir \delta para que |x-5|<1. Se |x-5|<1 então x está no intervalo (4,6). Para x\in(4,6) vale
6<x+2<8,
logo
|x+2|\le 8.
Assim, sempre que |x-5|<1 temos a estimativa
|f(x)-10| = |x-5|\cdot|x+2| \le 8\,|x-5|.

Passo 5

Agora relacionamos isso com \varepsilon. Queremos 8\,|x-5|<\varepsilon, ou seja |x-5|<\varepsilon/8. Para garantir também a hipótese usada acima ( |x-5|<1), escolhemos
\delta = \min\left\{1,\frac{\varepsilon}{8}\right\}.
Verificação final: seja \varepsilon>0 dado e tome \delta como acima. Se 0<|x-5|<\delta então, em particular, |x-5|<1 (portanto |x+2|\le 8) e |x-5|<\varepsilon/8. Assim
|f(x)-10| \le 8\,|x-5| < 8\cdot\frac{\varepsilon}{8}=\varepsilon.
Isso completa a prova usando a definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhida acima) que garante |f(x)-10|<\varepsilon sempre que 0<|x-5|<\delta.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 5}\left(x^{2}-3x\right)=10

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