Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede
(a derivada em um ponto genérico
):
- Função:
- Ponto pedido:
(interpreto como pedir a derivada em um ponto genérico , ou seja, para qualquer ).
Pergunta: calcular
usando a definição de derivada, e verificar o que ocorre em
.
Passo 2
Lembrete: definição de derivada em
. A derivada de
em
é o limite (se existir)
Vou aplicar isso separando
em duas partes fáceis de tratar:
A derivada (quando existir) é a soma das derivadas:
. Primeiro calculo
(é simples), depois
via definição.
Passo 3
Derivada de
pela definição (ou pela regra de potência conhecida):
Explicando passo a passo: expandi
, cancelei
, dividi por
e fiz o limite. Então
para todo
.
Passo 4
Agora
. Vou calcular
Para manipular esse quociente, é útil ver a variação do interior
. Defina
e a variação
Então o numerador é
. Escrevo o quociente como produto:
Agora analiso os dois fatores quando
.
Passo 5
Comportamento do primeiro fator. Para
temos
. A função
é diferenciável em
com
Portanto, quando
(ou seja
),
Justificativa informal: isso é exatamente a definição da derivada de
em
.
O segundo fator é
que tende para
quando
.
Multiplicando os limites (válido porque ambos existem finitos para
):
Simplificando a potência:
logo
Portanto, para
,
Observação didática: esse resultado coincide com o que se obteria aplicando cadeia + regra de potência a
, mas aqui derivámos diretamente a partir da definição (transformando a diferença de
em
).
Passo 6
Caso
. Precisamos investigar o limite
Para
isso é
quando
.
Para isso é
quando
.
As duas limites laterais divergem com sinais opostos, logo o limite não existe (nem é finito). Conclusão: não existe.
Para
As duas limites laterais divergem com sinais opostos, logo o limite não existe (nem é finito). Conclusão:
Como
, o comportamento de
é decidido por
: a derivada de
em
não existe.
Passo 7
Juntando os resultados para
:
- Para
,
- Para
, não existe (a derivada diverge).
Pequeno comentário de ânimo: deu trabalho por causa da raiz cúbica de
, que gera singularidade na derivada em zero — isso é totalmente normal em exames; você mostrou o caminho certo usando a definição.