Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3 x^{2}, \quad x_{0}=x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede f^{\prime}(x_{0}) (a derivada em um ponto genérico x_{0}):
  • Função: f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3x^{2}.
  • Ponto pedido: x_{0}=x (interpreto como pedir a derivada em um ponto genérico x_{0}, ou seja, f'(x_{0}) para qualquer x_{0}).
Pergunta: calcular f^{\prime}(x_{0}) usando a definição de derivada, e verificar o que ocorre em x_{0}=0.

Passo 2

Lembrete: definição de derivada em x_{0}. A derivada de f em x_{0} é o limite (se existir)
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Vou aplicar isso separando f em duas partes fáceis de tratar:
f(x)=g(x)+p(x), \qquad g(x)=\sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}, \qquad p(x)=-3x^{2}.
A derivada (quando existir) é a soma das derivadas: f'(x_{0})=g'(x_{0})+p'(x_{0}). Primeiro calculo p'(x_{0}) (é simples), depois g'(x_{0}) via definição.

Passo 3

Derivada de p(x)=-3x^{2} pela definição (ou pela regra de potência conhecida):
p'(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{-3(x_{0}+h)^{2}-(-3x_{0}^{2})}{h} =\lim_{h\to0}\frac{-3(2x_{0}h+h^{2})}{h} =\lim_{h\to0}(-6x_{0}-3h)=-6x_{0}.
Explicando passo a passo: expandi (x_{0}+h)^{2}=x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}, cancelei x_{0}^{2}, dividi por h e fiz o limite. Então p'(x_{0})=-6x_{0} para todo x_{0}.

Passo 4

Agora g(x)=(x^{2})^{1/3}. Vou calcular
g'(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{(x_{0}+h)^{2})^{1/3}-(x_{0}^{2})^{1/3}}{h}.
Para manipular esse quociente, é útil ver a variação do interior u=x^{2}. Defina u_{0}=x_{0}^{2} e a variação
\Delta u=(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}=2x_{0}h+h^{2}.
Então o numerador é (u_{0}+\Delta u)^{1/3}-u_{0}^{1/3}. Escrevo o quociente como produto:
\frac{(u_{0}+\Delta u)^{1/3}-u_{0}^{1/3}}{h} = \frac{(u_{0}+\Delta u)^{1/3}-u_{0}^{1/3}}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h}.
Agora analiso os dois fatores quando h\to0.

Passo 5

Comportamento do primeiro fator. Para x_{0}\neq0 temos u_{0}=x_{0}^{2}>0. A função k(u)=u^{1/3} é diferenciável em u_{0}>0 com
k'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
Portanto, quando \Delta u\to0 (ou seja h\to0),
\frac{(u_{0}+\Delta u)^{1/3}-u_{0}^{1/3}}{\Delta u}\longrightarrow k'(u_{0})=\frac{1}{3}u_{0}^{-2/3}.
Justificativa informal: isso é exatamente a definição da derivada de u^{1/3} em u_{0}.
O segundo fator é
\frac{\Delta u}{h}=\frac{2x_{0}h+h^{2}}{h}=2x_{0}+h,
que tende para 2x_{0} quando h\to0.
Multiplicando os limites (válido porque ambos existem finitos para x_{0}\neq0):
g'(x_{0})=\frac{1}{3}u_{0}^{-2/3}\cdot 2x_{0} = \frac{2}{3}x_{0}\, (x_{0}^{2})^{-2/3}.
Simplificando a potência:
(x_{0}^{2})^{-2/3}=x_{0}^{-4/3},
logo
g'(x_{0})=\frac{2}{3}x_{0}\cdot x_{0}^{-4/3}=\frac{2}{3}x_{0}^{-1/3}.
Portanto, para x_{0}\neq0,
g'(x_{0})=\frac{2}{3}x_{0}^{-1/3}.
Observação didática: esse resultado coincide com o que se obteria aplicando cadeia + regra de potência a g(x)=(x^{2})^{1/3}, mas aqui derivámos diretamente a partir da definição (transformando a diferença de x^{2} em \Delta u).

Passo 6

Caso x_{0}=0. Precisamos investigar o limite
g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{(0+h)^{2})^{1/3}-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|^{2/3}}{h}.
Para h>0 isso é h^{2/3}/h=h^{-1/3}\to+\infty quando h\to0^{+}.
Para h<0 isso é \dfrac{(-h)^{2/3}}{h}=-(-h)^{-1/3}\to-\infty quando h\to0^{-}.
As duas limites laterais divergem com sinais opostos, logo o limite não existe (nem é finito). Conclusão: g'(0) não existe.
Como p'(0)=-6\cdot 0=0, o comportamento de f'(0)=g'(0)+p'(0) é decidido por g'(0): a derivada de f em 0 não existe.

Passo 7

Juntando os resultados para f:
  • Para x_{0}\neq0,
f'(x_{0})=g'(x_{0})+p'(x_{0})=\frac{2}{3}x_{0}^{-1/3}-6x_{0}.
  • Para x_{0}=0, f'(0) não existe (a derivada diverge).
Pequeno comentário de ânimo: deu trabalho por causa da raiz cúbica de x^{2}, que gera singularidade na derivada em zero — isso é totalmente normal em exames; você mostrou o caminho certo usando a definição.

Resposta

\displaystyle f'(x_{0})=\frac{2}{3}x_{0}^{-1/3}-6x_{0}\quad\text{para }x_{0}\neq0\n
\displaystyle f'(0)\text{ não existe}ã

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