Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=x^{2} \ln (x), \quad x_{0}=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada pelo método da definição para a função f dada em um ponto x_{0}. Informações e o que é pedido:
  • Função: f(x)=x^{2}\ln(x).
  • Ponto/variável indicada: x_{0}=x.
  • Pedido: encontrar f^{\prime}(x_{0}) usando a definição de derivada (ou, equivalente, assumir x_{0} como ponto genérico e depois escrever em termos de x).
  • Observação importante: a função envolve \ln(x), portanto o domínio exige x_{0}>0 (para a definição do log e para que x_{0}+h seja positivo para h suficientemente pequeno).

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada e o que cada símbolo significa:
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h},
onde h é um incremento real que tende a zero. A expressão dentro do limite é o quociente incremental; ao tomar o limite h\to0 obtemos a taxa de variação instantânea de f em x_{0}.

Passo 3

Substituímos f na expressão da definição. Primeiro calcule f(x_{0}+h):
f(x_{0}+h)=(x_{0}+h)^{2}\ln(x_{0}+h).
O quociente incremental fica
\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} = \frac{(x_{0}+h)^{2}\ln(x_{0}+h)-x_{0}^{2}\ln(x_{0})}{h}.
Para manipular essa diferença, uso a identidade
A B - C D = (A-C)B + C(B-D),
com A=(x_{0}+h)^{2}, B=\ln(x_{0}+h), C=x_{0}^{2}, D=\ln(x_{0}). Aplicando:
\frac{(x_{0}+h)^{2}\ln(x_{0}+h)-x_{0}^{2}\ln(x_{0})}{h} = \frac{( (x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2})\ln(x_{0}+h)}{h} + x_{0}^{2}\cdot\frac{\ln(x_{0}+h)-\ln(x_{0})}{h}.

Passo 4

Simplifico a primeira fração. Note que
(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}=2x_{0}h+h^{2},
logo
\frac{(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}}{h}=2x_{0}+h.
Assim a primeira parcela do quociente incremental é
(2x_{0}+h)\ln(x_{0}+h).
Quando h\to0, 2x_{0}+h\to 2x_{0} e \ln(x_{0}+h)\to\ln(x_{0}). Pelo teorema do limite do produto, a contribuição do primeiro termo ao limite é
\lim_{h\to0}(2x_{0}+h)\ln(x_{0}+h)=2x_{0}\ln(x_{0}).

Passo 5

Agora avalio a segunda parcela:
x_{0}^{2}\cdot\frac{\ln(x_{0}+h)-\ln(x_{0})}{h}.
Reescrevo a diferença de logaritmos usando logaritmo de quociente:
\ln(x_{0}+h)-\ln(x_{0})=\ln\!\bigg(\frac{x_{0}+h}{x_{0}}\bigg)=\ln\!\bigg(1+\frac{h}{x_{0}}\bigg).
Então
\frac{\ln(x_{0}+h)-\ln(x_{0})}{h} = \frac{1}{h}\ln\!\bigg(1+\frac{h}{x_{0}}\bigg) = \frac{1}{x_{0}}\cdot\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{h}{x_{0}}\big)}{\tfrac{h}{x_{0}}}.
Fazendo a substituição \displaystyle u=\frac{h}{x_{0}} (quando h\to0, tem-se u\to0), obtemos o limite conhecido
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
(Justificação rápida: é um limite padrão; pode obter-se por desenvolvimento em série ou por regra de l’Hospital: \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to0}\frac{1/(1+u)}{1}=1.)
Portanto
\lim_{h\to0}\frac{\ln(x_{0}+h)-\ln(x_{0})}{h}=\frac{1}{x_{0}}.
Multiplicando por x_{0}^{2} dá a contribuição do segundo termo:
x_{0}^{2}\cdot\frac{1}{x_{0}}=x_{0}.

Passo 6

Somando as duas contribuições (primeiro e segundo termo) obtemos o valor do limite da definição da derivada:
f^{\prime}(x_{0})=2x_{0}\ln(x_{0})+x_{0}.
Como o enunciado indicou x_{0}=x, podemos reescrever em termos da variável x:
f^{\prime}(x)=2x\ln(x)+x.
Parabéns — essa é a derivada de f(x)=x^{2}\ln(x) obtida diretamente pela definição.

Resposta

f^{\prime}(x)=2x\ln(x)+x

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