Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada pelo método da definição para a função
dada em um ponto
. Informações e o que é pedido:
- Função:
. - Ponto/variável indicada:
. - Pedido: encontrar
usando a definição de derivada (ou, equivalente, assumir como ponto genérico e depois escrever em termos de ). - Observação importante: a função envolve
, portanto o domínio exige (para a definição do log e para que seja positivo para suficientemente pequeno).
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada e o que cada símbolo significa:
onde
é um incremento real que tende a zero. A expressão dentro do limite é o quociente incremental; ao tomar o limite
obtemos a taxa de variação instantânea de
em
.
Passo 3
Substituímos
na expressão da definição. Primeiro calcule
:
O quociente incremental fica
Para manipular essa diferença, uso a identidade
com
,
,
,
. Aplicando:
Passo 4
Simplifico a primeira fração. Note que
logo
Assim a primeira parcela do quociente incremental é
Quando
,
e
. Pelo teorema do limite do produto, a contribuição do primeiro termo ao limite é
Passo 5
Agora avalio a segunda parcela:
Reescrevo a diferença de logaritmos usando logaritmo de quociente:
Então
Fazendo a substituição
(quando
, tem-se
), obtemos o limite conhecido
(Justificação rápida: é um limite padrão; pode obter-se por desenvolvimento em série ou por regra de l’Hospital:
.)
Portanto
Portanto
Multiplicando por
dá a contribuição do segundo termo:
Passo 6
Somando as duas contribuições (primeiro e segundo termo) obtemos o valor do limite da definição da derivada:
Como o enunciado indicou
, podemos reescrever em termos da variável
:
Parabéns — essa é a derivada de
obtida diretamente pela definição.