Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
no ponto
quando
Ou seja, quer-se
em função de
. As informações relevantes são a expressão de
e o ponto genérico
.
Passo 2
Vou usar a definição de derivada no ponto
. Lembre-se que a derivada de
em
é
quando esse limite existir. Aqui
é o incremento da variável; a ideia é calcular a taxa de variação média e depois fazer
tender a zero para obter a taxa instantânea.
Passo 3
Substituo
na diferença do numerador:
Agora fatoro
para facilitar:
Passo 4
Formo o quociente (diferença sobre
) e simplifico passo a passo:
Separo os termos no numerador:
Portanto
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Conhecemos dois limites fundamentais da função exponencial:
(A segunda pode ser vista pela série
, dividindo por
e fazendo
dá
.) Usando esses resultados:
Passo 6
Interpretação didática: esse cálculo usando a definição mostra, de forma direta, que a derivada de
é
. Isso é compatível com a regra do produto (derivando
dá
e derivando
dá
), mas aqui obtivemos o resultado apenas com a definição de limite — boa prática para prova.