Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=x e^{x}, \quad x_{0}=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f no ponto x_{0} quando
f(x)=x e^{x}, \qquad \text{e o ponto é }x_{0}=x.é
Ou seja, quer-se f^{\prime}(x_{0}) em função de x_{0}. As informações relevantes são a expressão de f e o ponto genérico x_{0}.

Passo 2

Vou usar a definição de derivada no ponto x_{0}. Lembre-se que a derivada de f em x_{0} é
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h},
quando esse limite existir. Aqui h é o incremento da variável; a ideia é calcular a taxa de variação média e depois fazer h tender a zero para obter a taxa instantânea.

Passo 3

Substituo f(x)=x e^{x} na diferença do numerador:
f(x_{0}+h)-f(x_{0})=(x_{0}+h)e^{x_{0}+h}-x_{0}e^{x_{0}}.
Agora fatoro e^{x_{0}+h}=e^{x_{0}}e^{h} para facilitar:
(x_{0}+h)e^{x_{0}+h}-x_{0}e^{x_{0}}=e^{x_{0}}\big((x_{0}+h)e^{h}-x_{0}\big).

Passo 4

Formo o quociente (diferença sobre h) e simplifico passo a passo:
\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} = e^{x_{0}}\cdot\frac{(x_{0}+h)e^{h}-x_{0}}{h}.
Separo os termos no numerador:
\frac{(x_{0}+h)e^{h}-x_{0}}{h} = \frac{x_{0}e^{h}-x_{0}}{h}+\frac{h e^{h}}{h} = x_{0}\cdot\frac{e^{h}-1}{h} + e^{h}.
Portanto
\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} = e^{x_{0}}\!\left(x_{0}\cdot\frac{e^{h}-1}{h} + e^{h}\right).

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to 0. Conhecemos dois limites fundamentais da função exponencial:
\lim_{h\to 0} e^{h}=1, \qquad \lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
(A segunda pode ser vista pela série e^{h}=1+h+\tfrac{h^{2}}{2}+\cdots, dividindo por h e fazendo h\to0 1.) Usando esses resultados:
f^{\prime}(x_{0}) = e^{x_{0}}\!\left(x_{0}\cdot 1 + 1\right) = e^{x_{0}}(x_{0}+1).

Passo 6

Interpretação didática: esse cálculo usando a definição mostra, de forma direta, que a derivada de x\mapsto x e^{x} é (x+1)e^{x}. Isso é compatível com a regra do produto (derivando x 1 e derivando e^{x} e^{x}), mas aqui obtivemos o resultado apenas com a definição de limite — boa prática para prova.

Resposta

f^{\prime}(x_{0})=(x_{0}+1)e^{x_{0}}

Exercícios relacionados