Usando a definição de derivada por limite, prove a Regra de L’Hospital (1).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são funções deriváveis num intervalo aberto contendo
, satisfazem
então
Vamos usar apenas a definição de derivada por limite e propriedades básicas de limites.
Passo 2
Pela definição de derivada em
, para
temos
Como
, podemos escrever
Passo 3
Defina
Então
e
quando
, e as expressões do passo anterior viram
Logo, para
,
Passo 4
Como
, o denominador tende a
. Aplicando limite em
na expressão acima e usando que
,
, obtemos