Usando a definição de derivada por limite, prove a Regra de L’Hospital (1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f e g são funções deriváveis num intervalo aberto contendo a, satisfazem
f(a)=g(a)=0, g'(a)neq0,
então
limxto af(x)g(x) =f'(a)g'(a)
Vamos usar apenas a definição de derivada por limite e propriedades básicas de limites.

Passo 2

Pela definição de derivada em a, para xneq a temos
f(x)-f(a)x-ato f'(a), g(x)-g(a)x-ato g'(a) quando xto a
Como f(a)=g(a)=0, podemos escrever
f(x) =(x-a),f(x)-f(a)x-a, g(x) =(x-a),g(x)-g(a)x-a

Passo 3

Defina
epsilon1(x)=f(x)-f(a)x-a-f'(a), epsilon2(x)=g(x)-g(a)x-a-g'(a)
Então epsilon1(x)to0 e epsilon2(x)to0 quando xto a, e as expressões do passo anterior viram
f(x)=(x-a)l(f'(a)+epsilon1(x)r), g(x)=(x-a)l(g'(a)+epsilon2(x)r)
Logo, para xneq a,
f(x)g(x) =(x-a)l(f'(a)+epsilon1(x)r) (x-a)l(g'(a)+epsilon2(x)r) =f'(a)+epsilon1(x)g'(a)+epsilon2(x)

Passo 4

Como g'(a)neq0, o denominador tende a g'(a)neq0. Aplicando limite em xto a na expressão acima e usando que epsilon1(x)to0, epsilon2(x)to0, obtemos
limxto af(x)g(x) =f'(a)+0g'(a)+0 =f'(a)g'(a)

Resposta

limxto af(x)g(x) =f'(a)g'(a)

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