Usando a definição de derivadas. Calcule a derivada de:
f(r)=raizr^2-1

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos calcular a derivada da função usando a definição de derivadas. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que envolve limites, e aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função f'(r) = limh to 0 f(r + h) - f(r)h é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, substituímos a função f'(r) = limh to 0 raiz(r + h)^2 - 1 - raizr^2 - 1h na definição da derivada:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
raiz(r + h)^2 -1 - raizr^2 -1h times raiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1raiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1

Passo 5

Realizando a multiplicação, temos:
(r + h)^2 -1 - (r^2 -1)h ( raiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1 )
Simplificando o que está no numerador:
(r + h)^2 -1 - r^2 +1 = 2rh + h^2
Então, a expressão fica:
2rh + h^2h ( raiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1 )

Passo 6

Agora, vamos simplificar o termo h(2r + h)h ( raiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1 ) = 2r + hraiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1 do numerador e do denominador:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o limite quando f'(r) = limh to 0 2r + hraiz(r + h)^2 -1 + raizr^2 -1 = 2r2raizr^2 -1 = rraizr^2 -1 tende a zero:

Resposta

A derivada de f'(r) = dfracrraizr^2 -1 é:

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