Em cada um dos Problemas 1 a 3 , determine varphi^prime prime(x0), varphi^prime prime prime(x0) e varphi^(4)(x0) para o ponto x0 dado, se y=varphi(x0) é uma solução do problema de valor inicial dado.
x^2 y^prime prime+(1+x) y^prime+3(ln x) y=0 ; y(1)=2, y^prime(1)=0

Passo 1

A gente tem a EDO de segunda ordem x^2y''+(1+x)y'+3ln(x),y=0 e as condições iniciais em x0=1: y(1)=2, y'(1)=0. O que precisamos é achar y''(1), y'''(1) e y^(4)(1) usando a própria equação e suas derivações.

Passo 2

Para y''(1), basta colocar x=1 na EDO original. Como ln(1)=0 e y'(1)=0,
1^2,y''(1)+(1+1),y'(1)+3ln(1),y(1)=0
y''(1)+2cdot0+0=0 Rightarrow;y''(1)=0

Passo 3

Agora diferenciamos a EDO original em relação a x para obter uma relação que envolva y'''. A derivada de
x^2y''+(1+x)y'+3ln(x),y=0
é
x^2y'''+2x y''+(3x+1)y''+y'+3yx+3ln(x)y'=0
que simplifica em
x^2y'''+(3x+1+2x)y''+(1+3ln x)y'+3yx=0
Ou seja,
x^2y'''+(5x+1)y''+(1+3ln x)y'+3yx=0

Passo 4

Em x=1:
y'''(1)+(5+1)cdot0+(1+0)cdot0+321=0
y'''(1)+6=0 Rightarrow;y'''(1)=-6

Passo 5

Para y^(4)(1), diferenciamos de novo essa última relação
x^2y'''+(5x+1)y''+(1+3ln x)y'+3y/x=0
e obtemos
x^2y^(4)+(5x+1)y'''+(4+3ln x)y''+6y'x-3yx^2=0

Passo 6

Em x=1:
y^(4)(1)+6,y'''(1)+4,y''(1)+6,y'(1)-3,y(1)=0

Passo 7

Substituindo y'''(1)=-6, y''(1)=0, y'(1)=0, y(1)=2:
y^(4)(1)+6(-6)+0+0-3cdot2=0
y^(4)(1)-36-6=0 Rightarrow;y^(4)(1)=42

Resposta

y''(1)=0, y'''(1)=-6, y^(4)(1)=42

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