Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
(a) f(x)=14-raiz51 ; x0=-4;
(b) f(x)=2-raizx ; x0=3;
(c) f(x)=(3+x)(3-x)^-1 ; x0=0;
(d) f(x)=raiz[3]6 x-4 ; x0=1;

Passo 1

O enunciado pede a derivada em um ponto específico de quatro funções distintas. Vamos usar a definição de derivada em x0:
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h

Passo 2

Caso (a): f(x)=14-raiz51, x0=-4.
Como f é constante, temos
f(x0+h)-f(x0)=(14-raiz51)-(14-raiz51)=0,
então
f(x0+h)-f(x0)h=0 Longrightarrow f'(-4)=0

Passo 3

Caso (b): f(x)=2-raizx, x0=3.
O quociente de diferença é
f(3+h)-f(3)h =l(2-raiz3+hr)-l(2-raiz3r)h =raiz3-raiz3+hh
Racionalizando o numerador:
raiz3-raiz3+hh =(raiz3-raiz3+h)(raiz3+raiz3+h) h,(raiz3+raiz3+h) =3-(3+h)h,(raiz3+raiz3+h) =-1raiz3+raiz3+h
Fazendo hto0,
f'(3)=-12raiz3

Passo 4

Caso (c): f(x)=dfrac3+x3-x, x0=0.
O quociente de diferença é
f(0+h)-f(0)h =3+h3-h-1h =3+h-(3-h)3-hh =2h3-hh =23-h
Fazendo hto0,
f'(0)=23

Passo 5

Caso (d): f(x)=raiz[3]6x-4, x0=1.
O quociente de diferença é
f(1+h)-f(1)h =raiz[3]2+6h-raiz[3]2h
Multiplicamos numerador e denominador pelo “cúbico conjugado”
l(raiz[3](2+6h)^2+raiz[3]2(2+6h)+raiz[3]2^2r), obtendo
(2+6h)-2h,[dots] =6hh,[dots] =6raiz[3](2+6h)^2+raiz[3]2(2+6h)+raiz[3]2^2
Fazendo hto0, o denominador vira 3cdot2^2/3, então
f'(1)=63cdot2^2/3 =raiz[3]2

Resposta

(a) f'(-4)=0
(b) f'(3)=-dfrac12raiz3
(c) f'(0)=dfrac23
(d) f'(1)=raiz[3]2

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