Exercício 2) Encontre, onde existir, as derivadas parciais das funções dadas a seguir:
f(x, y)=ln (raizx^2+y^2);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=ln!l(raizx^2+y^2r)
em todo ponto em que elas existam. O conteúdo principal aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a forma de f. Como ln(raizu)=tfrac12ln(u), com u=x^2+y^2, temos
f(x,y) =ln!l(raizx^2+y^2r) =tfrac12ln!l(x^2+y^2r)

Passo 3

Agora calculamos partial fpartial x. Usando a regra da cadeia em
f(x,y)=tfrac12ln(u), u=x^2+y^2,
temos
partial fpartial x =tfrac12cdot1ucdotpartial upartial x =tfrac12cdot1x^2+y^2cdot(2x) =xx^2+y^2

Passo 4

De modo análogo, para partial fpartial y aplicamos a regra da cadeia com partial u/partial y=2y, obtendo
partial fpartial y =tfrac12cdot1x^2+y^2cdot(2y) =yx^2+y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y) =xx^2+y^2, partial fpartial y(x,y) =yx^2+y^2,
válidas para todos os (x,y)neq(0,0).

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