Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x)=1-4 x^2
b) f(x)=2 x^2-x-1
c) f(x)=1x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de cada função usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos aplicar esse limite a cada caso.

Passo 2

Para f(x)=1-4x^2 temos
f(x+h)=1-4(x+h)^2=1-4x^2-8xh-4h^2
Logo
f(x+h)-f(x)=-8xh-4h^2
e
f(x+h)-f(x)h=-8x-4h
Fazendo hto0 resulta
f'(x)=-8x

Passo 3

Para f(x)=2x^2-x-1 temos
f(x+h)=2(x+h)^2-(x+h)-1=2x^2+4xh+2h^2-x-h-1
Logo
f(x+h)-f(x)=4xh+2h^2-h
e
f(x+h)-f(x)h=4x+2h-1
Fazendo hto0 resulta
f'(x)=4x-1

Passo 4

Para f(x)=1x+2 temos
f(x+h)=1x+2+h
Logo
f(x+h)-f(x) =1x+2+h-1x+2 =(x+2)-(x+2+h)(x+2+h)(x+2) =-h(x+2+h)(x+2)
e
f(x+h)-f(x)h =-1(x+2+h)(x+2)
Fazendo hto0 resulta
f'(x)=-1(x+2)^2

Resposta

a) f'(x)=-8x
b) f'(x)=4x-1
c) f'(x)=-1(x+2)^2

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