Determine se a série abaixo converge ou diverge:
sumk=1^infty (-1)^kk+1

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a convergência da série
sumk=1^infty (-1)^kk+1,
O conteúdo principal aqui é o Teste da Série Alternante (ou Critério de Leibniz) e também o teste de convergência absoluta. Para aplicar o teste alternante, vamos identificar ak = (-1)^k bk com
bk = 1k+1,

Passo 2

Mostramos que bk satisfaz as hipóteses do Teste de Leibniz:
  1. Monotonicidade: para k>=1, bk+1 = 1(k+1)+1 = 1k+2 <= 1k+1 = bk, então (bk) é decrescente.
  2. Limite nulo: limktoinfty bk = limktoinfty 1k+1 = 0

Passo 3

Pelo Teste da Série Alternante, como bk é decrescente e tende a zero, a série
sumk=1^infty (-1)^k bk
converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumk=1^infty |ak| = sumk=1^infty 1k+1
Mas sumk=1^infty1/(k+1) difere da série harmônica apenas no índice inicial, logo diverge. Portanto, a convergência da série original é condicional, não absoluta.

Passo 5

Opcionalmente, podemos obter o valor da soma usando a expansão
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,
para x=1, que dá ln2=sumn=1^infty(-1)^n-1/n. Então
sumk=1^infty(-1)^kk+1 =summ=2^infty(-1)^m-1m =l(summ=1^infty(-1)^m-1mr)-1 =ln2-1

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo Teste da Série Alternante) e seu valor é
ln2 - 1

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