Determine se a série abaixo converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste da Série Alternante (ou Critério de Leibniz) e também o teste de convergência absoluta. Para aplicar o teste alternante, vamos identificar
com
Passo 2
Mostramos que
satisfaz as hipóteses do Teste de Leibniz:
- Monotonicidade: para
, então é decrescente. - Limite nulo:
Passo 3
Pelo Teste da Série Alternante, como
é decrescente e tende a zero, a série
converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Mas
difere da série harmônica apenas no índice inicial, logo diverge. Portanto, a convergência da série original é condicional, não absoluta.
Passo 5
Opcionalmente, podemos obter o valor da soma usando a expansão
para
, que dá
. Então
Resposta
A série converge condicionalmente (pelo Teste da Série Alternante) e seu valor é