Usando a definição, determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^{2}-3 x+5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}-3x+5
usando a definição via limite do quociente incremental. Isto é, vamos aplicar
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Calculamos primeiro f(x+h) substituindo x por x+h:
f(x+h) = (x+h)^{2} - 3(x+h) + 5 = x^{2} + 2xh + h^{2} \;-\;3x -3h +5.

Passo 3

Formamos a diferença f(x+h)-f(x) e o quociente incremental:
f(x+h)-f(x) = \bigl(x^{2} + 2xh + h^{2} -3x -3h +5\bigr) - \bigl(x^{2}-3x+5\bigr) = 2xh + h^{2} -3h,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{h(2x + h -3)}{h} = 2x + h -3.

Passo 4

Tomamos o limite quando h \to 0:
f'(x) = \lim_{h\to 0}\bigl(2x + h -3\bigr) = 2x - 3.

Resposta

f'(x) = 2x - 3.

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