Usando a definição, determine a derivada da função abaixo em x=-1.
g(x)=1x^2

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de g(x)=1/x^2 no ponto x=-1 usando a definição de derivada por limite de diferença. Vamos usar o conceito de limite de quociente incremental para obter g'(-1).

Passo 2

Por definição, a derivada de g em x0 é dada por
g'(x0)=limhto0g(x0+h)-g(x0)h
Aqui tomamos x0=-1, logo precisamos de
g(-1+h)-g(-1)h= 1(-1+h)^2-1(-1)^2h= 1(-1+h)^2-1h

Passo 3

Vamos simplificar o numerador colocando sobre denominação comum:
1(-1+h)^2-1=1-( -1+h)^2(-1+h)^2
Logo o quociente fica
1-( -1+h)^2(-1+h)^2,h
Note que
1-( -1+h)^2=1-(1-2h+h^2)=-h^2+2h=h(2-h)

Passo 4

Substituindo de volta no quociente:
h(2-h)(-1+h)^2,h=2-h(-1+h)^2
Agora basta tomar o limite quando hto0.

Passo 5

Ao deixar hto0, o numerador tende a 2 e o denominador a (-1+0)^2=1. Portanto
limhto02-h(-1+h)^2=21=2
Logo, g'(-1)=2.

Resposta

g'(-1)=2

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