Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=raiz[3]x+8, x0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função f(x) = raiz[3]x + 8 no ponto x0 = 0 . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada e como aplicá-la usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função f em um ponto x0 é o limite da taxa de variação de f quando o incremento tende a zero. Matemáticamente, isso é expresso por:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função f(x) = raiz[3]x + 8 no ponto x0 = 0 . Primeiro, substituímos x0 na fórmula:
f'(0) = limh to 0 f(0 + h) - f(0)h = limh to 0 raiz[3]h + 8 - raiz[3]8h

Passo 4

Sabemos que raiz[3]8 = 2 , então simplificamos a expressão:
f'(0) = limh to 0 raiz[3]h + 8 - 2h

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade de que raiz[3]a - raiz[3]b pode ser manipulada multiplicando e dividindo pelo conjugado adequado. No caso, multiplicamos por (raiz[3]h + 8)^2 + 2raiz[3]h + 8 + 4 :
f'(0) = limh to 0 (raiz[3]h + 8 - 2)(raiz[3](h + 8)^2 + 2raiz[3]h + 8 + 4)h(raiz[3](h + 8)^2 + 2raiz[3]h + 8 + 4)

Passo 6

No numerador, a expressão (raiz[3]h + 8 - 2)(raiz[3](h + 8)^2 + 2raiz[3]h + 8 + 4) se simplifica para h , devido à identidade a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Então:
f'(0) = limh to 0 hh(raiz[3](h + 8)^2 + 2raiz[3]h + 8 + 4) = limh to 0 1raiz[3](h + 8)^2 + 2raiz[3]h + 8 + 4

Passo 7

Agora, substituímos h por 0 na expressão restante:
f'(0) = 1raiz[3]8^2 + 2raiz[3]8 + 4 = 1raiz[3]64 + 2 times 2 + 4 = 14 + 4 + 4 = 112

Resposta

A derivada de f(x) = raiz[3]x + 8 no ponto x0 = 0 é 112 .

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