Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto
dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função
no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada e como aplicá-la usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação de
quando o incremento tende a zero. Matemáticamente, isso é expresso por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
. Primeiro, substituímos
na fórmula:
Passo 4
Sabemos que
, então simplificamos a expressão:
Passo 5
Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade de que
pode ser manipulada multiplicando e dividindo pelo conjugado adequado. No caso, multiplicamos por
:
Passo 6
No numerador, a expressão
se simplifica para
, devido à identidade
. Então:
Passo 7
Agora, substituímos
por 0 na expressão restante:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.