Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto
dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Aqui, vamos mexer com conceitos de cálculo diferencial, especificamente com o limite que define a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função no ponto
. A derivada
é igual ao limite:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada no ponto dado.
Passo 3
Vamos substituir
e
na fórmula. Nossa função é
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
:
Passo 5
Substituímos
e
na definição da derivada:
Passo 6
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela conjugada:
Passo 7
Simplificamos
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, fazemos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.