Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=raiz4+3 x, x0=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = raiz4 + 3x no ponto x0 = 7 usando a definição de derivada. Aqui, vamos mexer com conceitos de cálculo diferencial, especificamente com o limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função no ponto x0 . A derivada f'(x0) é igual ao limite:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada no ponto dado.

Passo 3

Vamos substituir f(x) e x0 na fórmula. Nossa função é f(x) = raiz4 + 3x e x0 = 7 . Então:
f(7) = raiz4 + 3 times 7 = raiz4 + 21 = raiz25 = 5

Passo 4

Agora, vamos encontrar f(7 + h) :
f(7 + h) = raiz4 + 3(7 + h) = raiz4 + 21 + 3h = raiz25 + 3h

Passo 5

Substituímos f(7 + h) e f(7) na definição da derivada:
f'(7) = limh to 0 raiz25 + 3h - 5h

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela conjugada:
raiz25 + 3h - 5h times raiz25 + 3h + 5raiz25 + 3h + 5 = (25 + 3h) - 25h(raiz25 + 3h + 5) = 3hh(raiz25 + 3h + 5)

Passo 7

Simplificamos h no numerador e denominador:
3hh(raiz25 + 3h + 5) = 3raiz25 + 3h + 5

Passo 8

Agora, fazemos o limite quando h tende a 0:
f'(7) = limh to 0 3raiz25 + 3h + 5 = 3raiz25 + 0 + 5 = 35 + 5 = 310

Resposta

A derivada de f(x) = raiz4 + 3x no ponto x0 = 7 é f'(7) = 310 .

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