Usando a definição formal de limite, mostre que:
A sequência \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) converge para zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de limite de sequência, que
a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
converge para 0.
O conceito que vamos usar é: dizemos que \\ (a_n) converge para L se, dado qualquer \varepsilon>0, existe um índice N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n - L\bigr| < \varepsilon.

Passo 2

Aqui queremos L=0. Então analisamos
\biggl|\frac{1}{\sqrt{n}} - 0\biggr| = \frac{1}{\sqrt{n}}.
Para garantir \frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon, basta que
\sqrt{n} > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{1}{\varepsilon^2}.

Passo 3

Dado qualquer \varepsilon>0, escolha
N = \Bigl\lceil \frac{1}{\varepsilon^2}\Bigr\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Então, se n\ge N temos
n \ge N \ge \frac{1}{\varepsilon^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{N}} < \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, a partir de N, todos os termos da sequência ficam a menos de \varepsilon de 0.

Resposta

Portanto, pela definição formal,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0.

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