Usando a definição formal de limite, mostre que:
A sequência \left(\frac{2 n+1}{n}\right), converge para 2 .

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{2n+1}{n},
e pede para mostrar, usando a definição formal, que \lim_{n\to\infty}a_n = 2.
O conteúdo envolve a definição de limite de sequência:
“Para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon.”

Passo 2

Primeiro, identificamos o candidato ao limite:
L = 2.
Em seguida, calculamos a diferença absoluta:
\bigl\lvert a_n - 2\bigr\rvert = \left\lvert \frac{2n+1}{n} - 2\right\rvert = \left\lvert 2 + \frac{1}{n} - 2\right\rvert = \frac{1}{n}.

Passo 3

Agora, seja dado um \varepsilon>0. Queremos garantir
\frac{1}{n} < \varepsilon.
Isto equivale a exigir
n > \frac{1}{\varepsilon}.

Passo 4

Basta escolher um N\in\mathbb{N} satisfazendo
N > \frac{1}{\varepsilon}.
Por exemplo, N = \left\lfloor \tfrac{1}{\varepsilon}\right\rfloor + 1.
Então, para todo n\ge N temos n > 1/\varepsilon, logo
\bigl\lvert a_n - 2\bigr\rvert = \frac{1}{n} < \varepsilon.
Isso completa a prova pelo critério \varepsilon- N.

Resposta

A sequência \bigl(\tfrac{2n+1}{n}\bigr) converge formalmente para 2.

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