Usando a definição formal do produto convolução, calcule
(f * g)(t) sendo f(t)=2 t e g(t)=sen t ( Valor =1,5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de (f * g)(t) no ponto t = 1,5, onde estamos lidando com convolução de duas funções f(t)=2t e g(t)=sin t. Vamos usar a definição formal de convolução e técnicas de integração para chegar ao resultado.

Passo 2

A definição formal de convolução de funções causais é dada por
(f * g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau

Passo 3

Substituindo f(tau)=2tau e g(t-tau)=sin(t-tau) na integral, obtemos
(f * g)(t)=integral0^t2tau,sin(t-tau),dtau=2integral0^ttau,sin(t-tau),dtau

Passo 4

Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável u=t-tau. Então tau=t-u e dtau=-du. Os limites mudam de tau=0to u=t e tau=tto u=0. A integral vira
integral0^ttau,sin(t-tau),dtau=integralt^0(t-u)sin u,(-du)=integral0^t(t-u)sin u,du

Passo 5

Separando em duas integrais:
integral0^t(t-u)sin u,du=tintegral0^tsin u,du-integral0^tusin u,du
Calculamos cada uma:
tintegral0^tsin u,du=tl[-cos ur]0^t=t(1-cos t),
integral0^tusin u,du=l[-ucos u+sin ur]0^t=-tcos t+sin t
Assim
integral0^ttausin(t-tau),dtau=t(1-cos t)-(-tcos t+sin t)=t-sin t

Passo 6

Voltando ao nosso (f * g)(t)=2integral0^ttausin(t-tau),dtau, temos
(f * g)(t)=2l(t-sin tr)

Passo 7

Basta agora avaliar em t=1,5:
(f * g)(1,5)=2l(1,5-sin(1,5)r)=3-2sin(1,5)approx1,005

Resposta

(f*g)(1,5)=3-2sin(1,5)approx1,005

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