Usando o Teorema da Convolução:
Resolva a seguinte Equação integral
y(t)=t+integral0^t tau y(t-tau) d tau

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação integral
y(t)=t+integral0^ttau,y(t-tau),dtau
usando o Teorema da Convolução. Isso envolve reconhecer uma convolução, aplicar transformada de Laplace e usar a propriedade Lf* g=F(s),G(s). Vamos precisar também das transformadas Lt=1/s^2 e da tabela inversa para 1/(s^2-1).

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace dos dois lados, definimos
Y(s)=Ly(t), F(s)=Lt=1/s^2 e como h(t)=t é o kernel da convolução, H(s)=1/s^2. A equação vira
Y(s)=F(s)+H(s),Y(s)
ou seja
Y(s)-1s^2Y(s)=1s^2
que fica
Y(s)l(1-1s^2r)=1s^2

Passo 3

Isolando Y(s), temos
Y(s)=1/s^21-1/s^2=1/s^2(s^2-1)/s^2=1s^2-1

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, usamos a transformada inversa conhecida
L^-1ltfrac1s^2-1r=sinh(t)
Logo, a solução da equação integral é dada por y(t)=sinh(t).

Resposta

y(t)=\sinh(t)

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